Teorema de Isserlis

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Na teoria da probabilidade, o teorema de Isserlis ou o teorema da probabilidade de Wick[1] é uma fórmula que permite calcular momentos de ordem superior da distribuição normal multivariada em termos de sua matriz de covariância.[2][3] É nomeado em homenagem a Leon Isserlis.[4] Esse teorema é particularmente importante na física de partículas, onde é conhecido como teorema de Wick por conta do trabalho de Wick em 1950.[5] Outras aplicações incluem a análise de retornos de portfólio,[6] teoria quântica de campos[7] e geração de ruído colorido.[8]

Declaração

Se (X1,…X2n) é um vetor aleatório normal multivariado com média de zero e, em seguida,

E⁡[X1X2⋯X2n]=∑∏E⁡[XiXj]=∑∏Cov⁡(Xi,Xj),E⁡[X1X2⋯X2n−1]=0,

onde a notação ∑ ∏ significa somar todas as formas distintas de particionamento X1, …, X2n em pares Xi,Xj e cada soma é o produto dos n pares.[9] Isso gera termos(2n)!/(2nn!)=(2n−1)!! na soma (ver fatorial duplo). Por exemplo, para momentos de quarta ordem (quatro variáveis), existem três termos. Para momentos de sexta ordem, existem 3 × 5 = 15 termos, e para momentos de oitava ordem, há 3 × 5 × 7 = 105 termos (como se pode verificar nos exemplos abaixo).

Em seu artigo original,[10] Leon Isserlis prova esse teorema por indução matemática, generalizando a fórmula para os momentos de quarta ordem,[11] que leva a aparência

E⁡[X1X2X3X4]=E⁡[X1X2]E⁡[X3X4]+E⁡[X1X3]E⁡[X2X4]+E⁡[X1X4]E⁡[X2X3].

Para momentos de sexta ordem, o teorema de Isserlis é:

E⁡[X1X2X3X4X5X6]=E⁡[X1X2]E⁡[X3X4]E⁡[X5X6]+E⁡[X1X2]E⁡[X3X5]E⁡[X4X6]+E⁡[X1X2]E⁡[X3X6]E⁡[X4X5]+E⁡[X1X3]E⁡[X2X4]E⁡[X5X6]+E⁡[X1X3]E⁡[X2X5]E⁡[X4X6]+E⁡[X1X3]E⁡[X2X6]E⁡[X4X5]+E⁡[X1X4]E⁡[X2X3]E⁡[X5X6]+E⁡[X1X4]E⁡[X2X5]E⁡[X3X6]+E⁡[X1X4]E⁡[X2X6]E⁡[X3X5]+E⁡[X1X5]E⁡[X2X3]E⁡[X4X6]+E⁡[X1X5]E⁡[X2X4]E⁡[X3X6]+E⁡[X1X5]E⁡[X2X6]E⁡[X3X4]+E⁡[X1X6]E⁡[X2X3]E⁡[X4X5]+E⁡[X1X6]E⁡[X2X4]E⁡[X3X5]+E⁡[X1X6]E⁡[X2X5]E⁡[X3X4].

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