Teorema de Jacobi

Em álgebra linear, o Teorema de Jacobi é um resultado que permite substituir uma fila de uma matriz quadrada qualquer, pela soma desta fila com um múltiplo de uma fila paralela, sem se alterar o valor do determinante da matriz.^[1]^[2]

Enunciado do teorema

Se uma fila (linha ou coluna) de uma matriz quadrada $A$ for adicionada uma múltipla de outra fila paralela, obtemos uma matriz $B$ tal que $\det A = \det B$ ^[3]Predefinição:Nota de rodapé.

Exemplo

O Teoremas de Jacobi é particularmente útil quando produzimos zeros de modo a obter uma matriz triangular. Para ilustrar esta ideia vamos calcular o determinante da matriz A dada por

$A = [\begin{matrix} 1 & 4 & 2 \\ - 3 & - 5 & 1 \\ - 1 & 3 & - 3 \end{matrix}]$ .

Realizamos as seguintes alterações nas linhas 2 e 3 da matriz $A$ : Nova Linha 2 $=$ Linha 2 $+$ 3 $\cdot$ Linha 1; Nova Linha 3 $=$ Linha 3 $+$ Linha 1. Temos, assim, de acordo com o Teorema de Jacobi,

$\det A = \det [\begin{matrix} 1 & 4 & 2 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & - 5 + 3 \cdot 4 & 1 + 3 \cdot 2 \\ - 1 + 1 & 3 + 4 & - 3 + 2 \end{matrix}] = \det [\begin{matrix} 1 & 4 & 2 \\ 0 & 7 & 7 \\ 0 & 7 & - 1 \end{matrix}]$ .

Realizando a nova alteração: Nova Linha 3 $=$ Linha 3 $-$ Linha 2, temos, novamente pelo Teorema de Jacobi,

$\det [\begin{matrix} 1 & 4 & 2 \\ 0 & 7 & 7 \\ 0 - 0 & 7 - 7 & - 1 - 7 \end{matrix}] = \det [\begin{matrix} 1 & 4 & 2 \\ 0 & 7 & 7 \\ 0 & 0 & - 8 \end{matrix}]$ .

Portanto, como chegamos a uma matriz triangular, cujo determinante pode ser obtido multiplicando-se os elementos da diagonal principal, temos $\det A = 1 \cdot 7 \cdot (- 8) = - 56$ .

Nota-se que o Teorema de Jacobi permite uma triangularização da matriz, facilitando o cálculo do determinante ^[4].

Exemplo: Teorema de Jacobi $\times$ Teorema de Laplace

O determinante de uma matriz de ordem 4 será calculado de duas formas, ilustrando que o uso do Teorema de Jacobi reduz a quantidade de determinantes de tamanho menor a serem calculados. Nota-se que aplicações sucessivas do Teorema de Jacobi facilitariam ainda mais o cálculo do determinante, especialmente quando uma matriz triangular é obtida.

1) Pelo Teorema de Jacobi, serão obtidos zeros na primeira coluna (e linhas 2, 3 e 4) da matriz

$A = [\begin{matrix} 1 & 2 & 0 & - 1 \\ - 1 & 3 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & - 1 & 3 \end{matrix}] .$

Em seguida, será calculado o determinante da matriz por meio do uso do teorema de Laplace e da Regra de Sarrus. Realizamos as seguintes alterações nas linhas 2 e 3 de $A$ : Nova Linha 2 $=$ Linha 2 $+$ Linha 1; Nova Linha 3 $=$ Linha 3 $+$ ( $-$ 1) $\cdot$ Linha 1; Nova Linha 4 $=$ Linha 4 $+$ ( $-$ 2) $\cdot$ Linha 1. A matriz resultante é $B = [\begin{matrix} 1 & 2 & 0 & - 1 \\ - 1 + 1 & 3 + 2 & 1 + 0 & 4 + (- 1) \\ 1 - 1 & 1 - 2 & 1 - 0 & 2 - (- 1) \\ 2 - 2 \cdot 1 & 2 - 2 \cdot 2 & - 1 - 2 \cdot 0 & 3 - 2 \cdot (- 1) \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 0 & 5 & 1 & 3 \\ 0 & - 1 & 1 & 3 \\ 0 & - 2 & - 1 & 5 \end{matrix}]$

e, pelo Teorema de Jacobi, $\det A = \det B$ . Agora, o uso do teorema de Laplace à primeira coluna de $B$ fornece

$\det B = 1 \cdot (- 1)^{1 + 1} \cdot \det [\begin{matrix} 5 & 1 & 3 \\ - 1 & 1 & 3 \\ - 2 & - 1 & 5 \end{matrix}] + 0 \cdot (- 1)^{2 + 1} \cdot \det [\begin{matrix} 2 & 0 & - 1 \\ - 1 & 1 & 3 \\ - 2 & - 1 & 5 \end{matrix}] + 0 \cdot (- 1)^{3 + 1} \cdot \det [\begin{matrix} 2 & 0 & - 1 \\ 5 & 1 & 3 \\ 2 & - 1 & 5 \end{matrix}] + 0 \cdot (- 1)^{4 + 1} \cdot \det [\begin{matrix} 2 & 0 & - 1 \\ 5 & 1 & 3 \\ - 1 & 1 & 3 \end{matrix}] .$

Assim, só precisamos calcular um determinante de ordem 3, o que pode ser feito pela Regra de Sarrus, como segue

$\det (A) = \det (B) = \det [\begin{matrix} 5 & 1 & 3 \\ - 1 & 1 & 3 \\ - 2 & - 1 & 5 \end{matrix}] = 25 - 6 + 3 - (- 6 - 15 - 5) = 48 .$

2) Sem utilizar o Teorema de Jacobi, ou seja, utilizando o Teorema de Laplace diretamente na matriz A, igualmente na primeira coluna, temos

$\det (A) = 1 \cdot (- 1)^{1 + 1} \cdot \det [\begin{matrix} 3 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & - 1 & 3 \end{matrix}] + (- 1) \cdot (- 1)^{2 + 1} \cdot \det [\begin{matrix} 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & - 1 & 3 \end{matrix}] + 1 \cdot (- 1)^{3 + 1} \cdot \det [\begin{matrix} 2 & 0 & - 1 \\ 3 & 1 & 4 \\ - 2 & - 1 & 3 \end{matrix}] + 2 \cdot (- 1)^{4 + 1} \cdot \det [\begin{matrix} 2 & 0 & - 1 \\ 3 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix}]$

e o uso da Regra de Sarrus para calcular cada um dos determinantes acima fornece

$d e t A = 1 \cdot (9 + 4 - 4 - [8 + 3 - 6]) + 1 \cdot (6 + 0 + 1 - [- 2 + 0 - 4]) + 1 \cdot (6 + 0 + 3 - [- 2 + 0 - 8] - 2 \cdot (4 + 0 - 3 - [- 1 + 0 + 8]) = 48 .$

Demonstração do teorema

Para a demonstração^[1], vamos considerar uma matriz quadrada qualquer, de ordem n, ou seja,

$A = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & . . . & a_{1 k} & . . . & a_{1 l} & . . . & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & . . . & a_{2 k} & . . . & a_{2 l} & . . . & a_{2 n} \\ a_{31} & a_{32} & . . . & a_{3 k} & . . . & a_{3 l} & . . . & a_{3 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & . . . & a_{n k} & . . . & a_{n l} & . . . & a_{n n} \end{matrix}] .$

Na l-ésima coluna, iremos somar seus termos com os respectivos termos da k-ésima coluna multiplicados pela constante $C$ . Com isso, temos a nova matriz $A^{'}$ dada por

$A^{'} = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & . . . & a_{1 k} & . . . & a_{1 l} + C \cdot a_{1 k} & . . . & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & . . . & a_{2 k} & . . . & a_{2 l} + C \cdot a_{2 k} & . . . & a_{2 n} \\ a_{31} & a_{32} & . . . & a_{3 k} & . . . & a_{3 l} + C \cdot a_{3 k} & . . . & a_{3 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & . . . & a_{n k} & . . . & a_{n l} + C \cdot a_{n k} & . . . & a_{n n} \end{matrix}]$

De acordo com a propriedade da soma de determinantes, o determinante de $A^{'}$ pode ser escrito como a soma de dois determinantes, como segue

$\det A^{'} = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & . . . & a_{1 k} & . . . & a_{1 l} & . . . & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & . . . & a_{2 k} & . . . & a_{2 l} & . . . & a_{2 n} \\ a_{31} & a_{32} & . . . & a_{3 k} & . . . & a_{3 l} & . . . & a_{3 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & . . . & a_{n k} & . . . & a_{n l} & . . . & a_{n n} \end{matrix} | + | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & . . . & a_{1 k} & . . . & C a_{1 k} & . . . & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & . . . & a_{2 k} & . . . & C a_{2 k} & . . . & a_{2 n} \\ a_{31} & a_{32} & . . . & a_{3 k} & . . . & C a_{3 k} & . . . & a_{3 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & . . . & a_{n k} & . . . & C a_{n k} & . . . & a_{n n} \end{matrix} | .$

Percebemos que no segundo determinante, do lado direito da igualdade, temos duas colunas proporcionais, de modo que o mesmo é nulo. Além disso, a matriz que aparece no primeiro determinante do lado da igualdade é exatamente $A$ . Logo, $\det A^{'} = \det A + 0 = \det A$ .

Predefinição:Referencias

Predefinição:Notas

Predefinição:Esboço-matemática

[Iezzi-1] 1,0 ^1,1 Predefinição:Citar livro

[2] ttps://books.google.com.br/books?id=25kri1SrOAUC&pg=PA485&dq=%22Teorema+de+Jacobi%22&hl=pt-BR&sa=X&ved=0ahUKEwjt3rmF6pLlAhVDGrkGHZQLBaMQ6AEIKTAA#v=onepage&q=%22Teorema%20de%20Jacobi%22&f=false

[Paiva-3] Predefinição:Citar livro

[4] Predefinição:Citar livro

[1]

[2]

[3]

[4]

Teorema de Jacobi

Índice

Enunciado do teorema

Exemplo

Exemplo: Teorema de Jacobi $\times$ Teorema de Laplace

Demonstração do teorema

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Exemplo: Teorema de Jacobi $\times$ Teorema de Laplace