Teorema de Larmor

O teorema de Larmor, enunciado por Joseph Larmor, afirma que:

Sempre que temos uma partícula carregada em uma órbita limitada numa região finita do espaço em que atua um campo de forças centrais, a adição de um campo magnético fraco produz um movimento de precessão sobreposto ao movimento inicial da partícula carregada (B = 0).

Demonstração

Demonstra-se o teorema de Larmor considerando-se a descrição do movimento de uma partícula carregada em um campo central e um campo magnético em relação a um sistema de coordenadas que gira a uma velocidade angular constante. As fórmulas para a velocidade e aceleração num sistema em rotação levam a

$𝐯={𝐯}^{\prime }+\mathit{\omega }\times 𝐫$

$𝐚={𝐚}^{\prime }+2\mathit{\omega }\times {𝐯}^{\prime }+\mathit{\omega }\times (\mathit{\omega }\times 𝐫)$,

onde v e a são, respectivamente, a velocidade e a aceleração da partícula em relação ao sistema de coordenadas em rotação (grandezas vetoriais) e o x refere-se ao produto vetorial ou externo. Fazendo algumas manipulações algébricas, chega-se a

$m{𝐚}^{\prime }=f(𝐫)e𝐫-\frac{e^2}{4m}(𝐁\times 𝐫)\times 𝐁$.

Em campos magnéticos fracos, o termo B² é desprezível; assim, temos a equação aproximada do movimento:

$m𝐚=f(𝐫)e𝐫$

Assim, numa primeira aproximação, o movimento de uma partícula na presença de um campo magnético tem a mesma órbita que sem o campo magnético, mas com uma precessão a uma velocidade angular -wLk.

Nota: wL é a freqüência angular de Larmor, r é o vetor unitário que representa a direção radial utilizada em coordenadas cilíndricas, esféricas e outras, e é a carga da partícula, e k é o vetor unitário na direção do eixo z.

Bibliografia

• HAUSER, Walter. Introducción a los Principios de Mecánica. Hispano Americana, 1966.