Teorema de Liouville–Arnold

Na teoria dos sistemas dinâmicos, o teorema de Liouville–Arnold estabelece que se, em um sistema Hamiltoniano dinâmico com n graus de liberdade, também há conhecidas n integrais de movimento primeiras que são independentes e em involução, então existe uma transformação canônica a coordenadas de ângulos de ação na qual a transformação Hamiltoniana é dependente somente das coordenadas de ação e os ângulos de coordenadas evoluem linearmente no tempo.

Formulação geral

Teorema (Liouville-Arnold-Jost)

Seja $(M^{2n},\omega )$ uma variedade simplética com colchete de Poisson associado $\{\cdot ,\cdot \}$. Sejam $f_1,f_2,\dots ,f_n:M\to ℝ$ funções suaves e defina $𝐟:M\to {ℝ}^n$ por $𝐟(x)=(f_1(x),\dots ,f_n(x))$. Fixe $𝐚\in {ℝ}^n$ na imagem de $𝐟$ e ponha $M_{𝐚}={𝐟}^{-1}(𝐚)=\{x\in M\mid 𝐟(x)=𝐚\}$. Suponha que

(i) as funções estão em involução: $\{f_i,f_j\}=0$ para todo $i,j$; e

(ii) $\mathrm{d}{f}_1,\mathrm{d}{f}_2,\dots ,\mathrm{d}{f}_n$ são linearmente independentes em todo ponto de $M_{𝐚}$ ou, equivalentemente, ${𝐟}_{\ast }$ tem posto maximal em todo ponto de $M_{𝐚}$.

O subespaço topológico $M_{𝐚}$ é uma subvariedade lagrangiana de $M$. Se $C_{𝐚}$ é uma componente conexa e compacta de $M_{𝐚}$, então $C_{𝐚}$ é difeomorfa a um $n$-toro, $C_{𝐚}\cong {𝕊}^1\times \cdots \times {𝕊}^1$, o produto ${𝕋}^n$ de $n$ círculos ${𝕊}^1$. Se as $f_i$s estiverem em involução com um hamiltoniano $H$, então o fluxo do campo ${𝐗}_H$ associado a $H$ leva $C_{𝐚}$ em si mesmo. Tal toro é chamado portanto de toro invariante.

A segunda, e mais substancial, parte merece ser enunciada como outro.

Teorema (Coordenadas de ângulo-ação)

Além disso, existem um aberto $U$ de $M$ contendo $C_{𝐚}$ e um difeomorfismo $(J_1,\dots ,J_n,{\phi }^1,\dots ,{\phi }^n):U\to D^n\times {𝕋}^n$, onde $D^n=\{x\in {ℝ}^n:\Vert x\Vert <1\}$ é o disco $n$-dimensional, tais que

(i) se ${\pi }_D:D^n\times {𝕋}^n\to D^n$ é a projeção canônica, as fibras de ${\pi }_D\circ (J,\phi )$ são toros invariantes. As coordenadas de ação $J_1,\dots ,J_n$ são constantes em cada toro invariante do aberto $U$.

(ii) $(J,\phi {)}^{\ast }\eta =\omega {|}_U$, onde $\eta =\sum \mathrm{d}{x}_i\wedge \mathrm{d}{\theta }^i$. Em outras palavras, o difeomorfismo $(J,\phi )$ é um simplectomorfismo (ou transformação canônica) de $(U,\omega {|}_U)$ em $(D^n\times {𝕋}^n,\eta )$.

Uma carta semilocal do tipo de $(U,J,\phi )$ é chamada de sistema semilocal de coordenadas de ângulo-ação.

Temos que $\lambda =\sum J_i\mathrm{d}{\phi }^i\in {\mathrm{\Omega }}^1(U)$ é uma 1-forma de Liouville para $\omega {|}_U$, isto é, $\mathrm{d}\lambda =\omega {|}_U$. Segue daí e da isotropia de $C_{𝐛}\subset U$ que $J_i(x)=\frac{1}{2\pi }{\oint }_{{\mathrm{\Gamma }}_i(x)}\lambda$, onde ${\mathrm{\Gamma }}_i(x)$ é a imagem de um dos geradores do primeiro grupo de homologia de $C_{𝐚}$. Note que $\mathrm{d}{f}_i({𝐗}_H)=\{H,f_i\}=0$, logo ${𝐗}_H$ é tangente a cada um dos toros invariantes. Portanto, $\mathrm{d}H\left(\frac{\partial }{\partial {\phi }^i}\right)=0$, ou seja, $H{|}_U$ depende apenas das coordenadas de ação. Se $\gamma$ é uma curva integral de ${𝐗}_H$ começando em $C_{𝐚}$ (portanto permanecendo aí), vemos que ${\phi }^i\circ \gamma$ evolui linearmente $(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2\pi )$ no tempo. Isso porque $\mathrm{d}\left(\mathrm{d}H\right(\frac{\partial }{\partial J_i}\left)\right)\left(\frac{\partial }{\partial {\phi }^j}\right)=\frac{\partial }{\partial {\phi }^j}(\frac{\partial }{\partial J_i}(H))=[\frac{\partial }{\partial {\phi }^j},\frac{\partial }{\partial J_i}](H)+\frac{\partial }{\partial J_i}\left(\mathrm{d}H\right(\frac{\partial }{\partial {\phi }^j}\left)\right)$ e $[\frac{\partial }{\partial {\phi }^j},\frac{\partial }{\partial J_i}]=0$, logo $\partial H{|}_U/\partial J_i$ depende apenas das coordenadas de ação. Evoluir linearmente $\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2\pi$ aqui significa que, levantando ${\phi }^k\circ \gamma$ ao recobrimento universal $ℝ$ segundo a aplicação $2\pi$-periódica $p:ℝ\to {𝕊}^1$, $p(s)=e^{is}=\cos s+\sqrt{-1}\sin s$, obtemos uma função suave $s_k:ℝ\to ℝ$. Essa função satisfaz ${s_k}^{\prime }=\partial (H{|}_U)/\partial J_k$, logo $s_k$ é afim, daí o “linearmente”. O movimento evolui como o de um sistema multiperiódico, com frequências ${\nu }_k(𝐚)=\frac{1}{2\pi }\partial H/\partial J_k$.

Subgrupos discretos do grupo aditivo ${ℝ}^n$

Provaremos nesta seção que todo subgrupo discreto do grupo aditivo do $ℝ$-espaço vetorial ${ℝ}^n$ é o span integral de um certo subconjunto linearmente independente.

Lema. Seja $\mathrm{\Gamma }\ne \{\mathrm{𝟎}\}$ um subgrupo discreto de $({ℝ}^n,+)$. Então existem ${𝐯}_1,\dots ,{𝐯}_k$ elementos linearmente independentes tais que $\mathrm{\Gamma }=\mathbb{Z}{𝐯}_1+\cdots +\mathbb{Z}{𝐯}_k$.

Antes, um

Fato. Um subgrupo discreto de um grupo topológico Hausdorff é necessariamente fechado.

Prova. Seja $H$ um subgrupo discreto do grupo topológico Hausdorff $G$. Suponha que existe $x\in G,x\notin H$ com a propriedade de que toda vizinhança de $x$ intersecta $H$. Nenhuma dessas interseções pode ter apenas um elemento, já que $G$ é Hausdorff e $x\notin H$. Sendo $H$ discreto, existe uma vizinhança $U$ de $e$, o elemento idêntico, tal que $U\cap H=\{e\}$ . Por continuidade da função $(x,y)\mapsto x{y}^{-1}$, alguma vizinhança $V$ de $e$ satisfaz $V{V}^{-1}\subset U$. Uma vez que translações são homeomorfismos, $xV$ é vizinhança de $x$, portanto há distintos $y_1,y_2\in xV\cap H$. Mas $y_1{y_2}^{-1}\ne e$ está em $V{V}^{-1}\cap H\subset U\cap H$, absurdo.

Prova do Lema. Pelo resultado anterior, $\mathrm{\Gamma }$ é fechado. Sejam ${𝐞}_1,\dots ,{𝐞}_r$ elementos linearmente independentes de $\mathrm{\Gamma }$ gerando um subgrupo $H$ e um subespaço $W$. Suponha que $\mathrm{\Gamma }\cap W=H$. Se $H\ne \mathrm{\Gamma }$, podemos definir a função $x\mapsto \mathrm{dist}(x,W)$ no fechado não-vazio $\mathrm{\Gamma }\setminus W$. Observe que $\mathrm{dist}(x+w,W)=\mathrm{dist}(x,W)$ para todo $w\in W$, pois a adição de $W$ lhe dá estrutura de grupo; e $\mathrm{dist}(cx,W)=c\mathrm{dist}(x,W)$, $c>0$, pois $W$ é subespaço. Seja $\alpha =\inf \{\mathrm{dist}(x,W)\mid x\in \mathrm{\Gamma }\setminus W\}$. Escolha uma sequência $(x_n)$ de pontos em $\mathrm{\Gamma }\setminus W$ com $\mathrm{dist}(x_n,W)<\alpha +\frac{1}{n}$. Então para alguma sequência $(p_n)$ de pontos em $W$ temos $|x_n-p_n|<1+\alpha +\frac{1}{n}$. Considerando as partes inteiras das coordenadas de $p_n$ na base ${𝐞}_1,\dots ,{𝐞}_r$, obtemos uma sequência $(z_n)$ de pontos em $H$ com $(y_n)=(x_n-z_n)$ uma sequência limitada de pontos em $\mathrm{\Gamma }\setminus W$. Já que $\mathrm{\Gamma }$ é um espaço discreto e fechado, alguma subsequência de $(y_n)$ é constante, logo podemos supor que a sequência possui valor constante $y$. Como $\mathrm{dist}(x_n-z_n,W)=\mathrm{dist}(x_n,W)$, obtemos que $\mathrm{dist}(y,W)=\alpha$. Conclusão: há um ponto em $\mathrm{\Gamma }$ fora de $W$ que minimiza a distância ao subespaço $W$.

Agora procederemos indutivamente: partindo de um ponto ${𝐯}_1\in \mathrm{\Gamma }\setminus \{\mathrm{𝟎}\}$ mais próximo da origem, consideramos o subespaço $V_1$ gerado por ${𝐯}_1$ e o subgrupo ${\mathrm{\Gamma }}_1$ gerado por esse elemento. Afirmo que $\mathrm{\Gamma }\cap V_1={\mathrm{\Gamma }}_1$. Suponha que não. Então há $𝐰\in (\mathrm{\Gamma }\cap V_1)\setminus {\mathrm{\Gamma }}_1$. Podemos então escrever $𝐰=c{𝐯}_1$, com $c\notin \mathbb{Z}$. Logo $0<c-\lfloor c\rfloor <1$, donde $𝐰-\lfloor c\rfloor {𝐯}_1\in \mathrm{\Gamma }\setminus \{\mathrm{𝟎}\}$; mas $|𝐰-\lfloor c\rfloor {𝐯}_1|<|{𝐯}_1|$, absurdo, pois ${𝐯}_1\ne \mathrm{𝟎}$ minimiza a distância à origem. Se ${\mathrm{\Gamma }}_1=\mathrm{\Gamma }$, estamos terminados. Caso contrário, existe um ponto em $\mathrm{\Gamma }$ fora de $V_1$ que minimiza a distância ao subespaço $V_1$; escolha algum, digamos, ${𝐯}_2$; então $\{{𝐯}_1,{𝐯}_2\}$ é linearmente independente, gerando o subgrupo ${\mathrm{\Gamma }}_2$ e o subespaço $V_2$. Novamente vejamos por que $\mathrm{\Gamma }\cap V_2={\mathrm{\Gamma }}_2$: caso não, existe $𝐰={𝐰}_0+c{𝐯}_2$, $𝐰\in \mathrm{\Gamma }\setminus {\mathrm{\Gamma }}_2$, ${𝐰}_0\in V_1$, $c\notin \mathbb{Z}$; temos $𝐰-\lfloor c\rfloor {𝐯}_2\in \mathrm{\Gamma }\setminus V_1$, mas $\mathrm{dist}((c-\lfloor c\rfloor ){𝐯}_2+{𝐰}_0,V_1)=(c-\lfloor c\rfloor )\mathrm{dist}({𝐯}_2,V_1)$, resultando em contradição. Iterando esse processo, obtemos vetores em $\mathrm{\Gamma }$ linearmente independentes ${𝐯}_1,{𝐯}_2,\dots ,{𝐯}_{k-1}$ gerando um subgrupo ${\mathrm{\Gamma }}_{k-1}$ e um subespaço $V_{k-1}$ tais que $\mathrm{\Gamma }\cap V_{k-1}={\mathrm{\Gamma }}_{k-1}$. Se ${\mathrm{\Gamma }}_{k-1}\ne \mathrm{\Gamma }$, o procedimento anterior nos dá ${𝐯}_k\in \mathrm{\Gamma }\setminus V_{k-1}$, com os ${\mathrm{\Gamma }}_k,V_k$ correspondentes satisfazendo $\mathrm{\Gamma }\cap V_k={\mathrm{\Gamma }}_k$. O número de iterações é obviamente limitado por $n=\dim {ℝ}^n$.

Os toros invariantes

Seja $X_i$ o campo hamiltoniano em $M^{2n}$ associado à função hamiltoniana $f_i$: $X_i⌟\omega =-\mathrm{d}{f}_i$ Temos que $\mathrm{d}{f}_j(X_i)=\{f_j,f_i\}=0$, logo os campos $X_1,\dots ,X_n$ são tangentes à subvariedade compacta e conexa $C_{𝐚}$, logo podem ser restritos a campos em $C_{𝐚}$. Uma vez que ${𝐟}_{\ast }$ tem posto maximal em todo ponto de $M_{𝐚}$, os campos $X_1,\dots ,X_n$ são linearmente independentes em todo ponto de $C_{𝐚}$, logo trivializam o fibrado tangente $T{C}_{𝐚}$. Sendo $C_{𝐚}$ compacta, esses campos são completos, isto é, o fluxo ${\rho }_i^s$ está definido para todo ponto de $C_{𝐚}$ e para todo $s\in ℝ$. Pelas fórmulas de Cartan, os campos comutam: $[X_i,X_j]={𝐗}_{\{f_i,f_j\}}=0$. É bem sabido que isso implica a comutatividade dos fluxos: ${{\rho }_i}^s\circ {{\rho }_j}^t={{\rho }_j}^t\circ {{\rho }_i}^s$. Para $𝐭=(t_1,\dots ,t_n)\in {ℝ}^n$, defina a função suave ${\rho }^{𝐭}:C_{𝐚}\to C_{𝐚}$ por ${\rho }^{𝐭}={{\rho }_1}^{t_1}\circ {{\rho }_2}^{t_2}\circ \cdots \circ {{\rho }_n}^{t_n}$. Segue que ${\rho }^{𝐭+𝐬}={\rho }^{𝐭}\circ {\rho }^{𝐬}$. Agora para cada $p\in C_{𝐚}$, defina a função suave ${\rho }_p:{ℝ}^n\to C_{𝐚}$ por ${\rho }_p(𝐭)={\rho }^{𝐭}(p)$. O fato de que $X_1,\dots ,X_n$ são linearmente independentes em todo ponto de $C_{𝐚}$ permite concluir, pelo Teorema da Função Inversa, que ${\rho }_p$ é um difeomorfismo local em torno de cada $𝐭\in {ℝ}^n$. Essa afirmação é clara para $𝐭=\mathrm{𝟎}$; use ${\rho }^{𝐭+𝐬}={\rho }^{𝐭}\circ {\rho }^{𝐬}$. Isso implica que a imagem de ${\rho }_p$ é aberta em $C_{𝐚}$. Analogamente, também é fechada. Por conexidade, ${\rho }_p$ é uma submersão sobrejetiva. Agora seja $G=\{𝐭\in {ℝ}^n\mid {\rho }_p(𝐭)=p\}$. Trata-se de um subgrupo do grupo aditivo ${ℝ}^n$. Uma vez que ${\rho }_p$ é difeomorfismo local, $G$ é subgrupo discreto. (Como esperávamos, $G$ é fechado.) Pelo resultado da seção anterior, existem ${𝐞}_1,\dots ,{𝐞}_k$ linearmente independentes de forma que $G=\mathbb{Z}{𝐞}_1+\mathbb{Z}{𝐞}_2+\dots +\mathbb{Z}{𝐞}_k$. Portanto, $C_{𝐚}$ é isomorfa como grupo de Lie difeomorfa como variedade a ${ℝ}^n/{\mathbb{Z}}^k\cong {𝕋}^k\times {ℝ}^{n-k}$. Como $C_{𝐚}$ é compacta, devemos ter $k=n$, donde $C_{𝐚}\cong {𝕋}^n$, com aplicação de recobrimento universal ${\rho }_p:{ℝ}^n\to C_{𝐚}$. O subgrupo discreto $G$ independe do $p\in C_{𝐚}$ escolhido. É o subgrupo de isotropia de $C_{𝐚}$, denotado comumente por ${\mathrm{\Lambda }}_{𝐚}$. Também é conhecido por reticulado de períodos de $C_{𝐚}$.

Um sistema semilocal de coordenadas

Até então, estávamos interessados em um toro invariante particular. Passaremos agora a considerar vários toros invariantes simultaneamente, isto é, investigaremos uma vizinhança de $C_{𝐚}$. Precisamente, provaremos o seguinte

Lema (Vizinhança trivializável). Seja $C_{𝐚}$ um toro invariante em $M$. Existem uma vizinhança $U$ de $C_{𝐚}$ e um difeomorfismo $\mathrm{\Phi }:U\to D^n\times {𝕋}^n$ tais que

(i) $𝐟$ aplica $U$ sobre $D^n$ e ${\mathrm{pr}}_D\circ \mathrm{\Phi }=𝐟{|}_U$;

(ii) as fibras da projeção canônica ${\mathrm{pr}}_D:D^n\times {𝕋}^n\to D^n$ voltam para $U$ via ${\mathrm{\Phi }}^{-1}$ como toros invariantes, com ${{\mathrm{pr}}_D}^{-1}(𝐚)=\mathrm{\Phi }(C_{𝐚})$.

Essencialmente, $𝐟{|}_U:U\to D^n$ é um fibrado trivial. Esse Lema pode ser visto como consequência do Lema da Fibração de EhresmannPredefinição:Nota de rodapé, mas vamos prová-lo de forma a evidenciar aspectos dinâmicos.

Prova do Lema. Para cada $𝐛\in {ℝ}^n$ e para cada componente conexa $N_{𝐛}$ de um $M_{𝐛}$, temos que $N_{𝐛}$ e $M_{𝐛}\setminus N_{𝐛}$ são fechados disjuntos em $M$, logo existem abertos disjuntos $V_1,V_2$ com $N_{𝐛}\subset V_1$, $M_{𝐛}\setminus N_{𝐛}\subset V_2$. Considere o toro invariante $C_{𝐚}$ em questão. Existe uma vizinhança $V$ de $C_{𝐚}$ em que ${𝐟}_{\ast }$ tem sempre posto maximal $n$. Podemos supor que $V$ tem fecho compacto. Seja $W$ a reunião de todas as componentes conexas contidas em $V$ de alguns $M_{𝐛}$s. Todas essas componentes conexas são compactas, uma vez que são subconjuntos fechados de um compacto, a saber, $\bar{V}$. Logo são toros invariantes $C_{𝐛}$. Afirmo que $W$ é aberto em $M$. Se $x\in C_{𝐛}\subset V$ não é ponto interior de $W$, toda vizinhança de $x$ contém algum ponto de algum $N_{𝐜}$ que por sua vez possui algum ponto fora de $V$, portanto fora de algum aberto $V^{\prime }$ que separe $C_{𝐛}$ de $M_{𝐛}\setminus C_{𝐛}$. Tomando vizinhanças contidas em $V^{\prime }$ convergindo para o ponto $x$, da conexidade dos $N_{𝐜}$s obtemos pontos $q_1,q_2,\dots ,q_n,\dots$ em $\mathrm{bd}{V}^{\prime }$, a fronteira topológica de $V^{\prime }$, pertencendo a $N_{{𝐜}_1},N_{{𝐜}_2},\dots$, e pontos $p_1,p_2,\dots ,p_n$ também em $N_{{𝐜}_1},N_{{𝐜}_2},\dots$, com a sequência $(p_n)$ convergindo para $x$. Se $q\in \mathrm{bd}{V}^{\prime }$ é um limite subsequencial de $(q_n)$, temos, por um lado, $𝐟(p_n)={𝐜}_n$, donde $({𝐜}_n)$ converge para $𝐟(x)=𝐛$; por outro lado, $𝐟(q_n)={𝐜}_n$, logo $q\in M_{𝐛}$. Isso é absurdo pois $q\in \mathrm{bd}{V}^{\prime }$, logo $q\notin C_{𝐛}$; mas $\mathrm{bd}{V}^{\prime }$ é disjunta de $M_{𝐛}\setminus C_{𝐛}$. Conclusão: $W$ é uma vizinhança de $C_{𝐚}$ fibrada por toros invariantes. Considere agora uma subvariedade de $W$ transversa a todos os toros invariantes que a intersectam (isso pode ser feito localmente); podemos restringi-la a uma subvariedade $𝒟$ tal que $𝐟(𝒟)=D^n$. Por transversalidade, podemos ainda supor que $𝐟{|}_{𝒟}:𝒟\to D^n$ é um difeomorfismo. O aberto $U={𝐟}^{-1}(D^n)\cap W$ é fibrado por toros invariantes. Conseguimos então uma seção $\sigma =(𝐟{|}_{𝒟}{)}^{-1}:D^n\to U$ do fibrado $𝐟{|}_U$. Defina o seguinte subespaço topológico $𝒫$ de $U\times {ℝ}^n$: $𝒫=\bigcup _{𝐱\in D^n}\{\sigma (𝐱)\}\times {\mathrm{\Lambda }}_{𝐱}$. Trata-se do fibrado de reticulados de períodos. Denotaremos por $\varpi :𝒫\to D^n$ a projeção $\varpi (\sigma (𝐱),𝐭)=𝐱$. Pelo Teorema da Função Implícita, podemos resolver localmente ${\rho }^{𝐭}(\sigma (𝐱))=\sigma (𝐱)$ para $𝐭$ como função de $𝐱$, obtendo uma seção local do fibrado $𝒫$. Usando seções locais, podemos levantar continuamente caminhos na base $D^n$. Encontraremos uma função suave $A:D^n\to \mathrm{GL}(n,ℝ)$, possivelmente depois de reduzir o raio de $D^n$, de forma que $A(𝐱)$ é base para o reticulado ${\mathrm{\Lambda }}_{𝐱}$. Escolha uma base $({𝐞}_1,\dots ,{𝐞}_n)$ para o subgrupo de isotropia de $C_{𝐚}$; recorde que $\sigma (𝐚)\in C_{𝐚}$. Considere seções locais de $𝒫$ em torno de $𝐚$, levando $𝐚$ a ${𝐞}_1,{𝐞}_2,\dots ,{𝐞}_n$; isso nos dá uma função suave $A:D^n\to {\mathrm{Mat}}_{n,n}(ℝ)$. Por continuidade do determinante, podemos supor que $A$ aplica $D^n$ em $\mathrm{GL}(n,ℝ)$. Vejamos por que $A(𝐱)$ é base para ${\mathrm{\Lambda }}_{𝐱}$ para todo $𝐱\in D^n$: dado $𝐭\in {\mathrm{\Lambda }}_{𝐱}$, escolha um caminho $\gamma :[0,1]\to D^n$ partindo de $\mathrm{𝟎}$ até $𝐱$ na base. Levante a um caminho $\tilde{\gamma }$ em $𝒫$ terminando em $𝐭$ e começando em algum ponto de ${\mathrm{\Lambda }}_{𝐚}$. Temos que $\tilde{\gamma }(s)$ expressa-se como combinação linear a coeficientes racionais das colunas de $A(\gamma (s))$. Considerando os coeficientes, temos uma função contínua $[0,1]\to {ℝ}^n$ com imagem em ${\mathbb{Q}}^n$. Essa função é constante, portanto. Como a imagem de $0$ possui coordenadas inteiras, também possui a imagem de $1$, isto é, $𝐭$ é combinação linear integral das colunas de $A(𝐱)$, como queríamos. Estamos prontos para definir a trivialização $\mathrm{\Phi }:D^n\times {𝕋}^n\to U$. Começaremos definindo o levantamento ao recobrimento universal, $\tilde{\mathrm{\Phi }}:D^n\times {ℝ}^n\to U$ por $\tilde{\mathrm{\Phi }}(𝐱,𝐭)={\rho }^{A(𝐱)𝐭}(\sigma (𝐱))$. É imediato que $\tilde{\mathrm{\Phi }}$ desce a um difeomorfismo $D^n\times {𝕋}^n\to U$ com todas as propriedades mencionadas.

Definindo coordenadas de ângulo-ação

O difeomorfismo $(𝐟,\overline{\phi })$ obtido anteriormente pode não ser um simplectomorfismo, dada a arbitrariedade envolvida na escolha da seção $\sigma$. Começaremos identificando a vizinhança $U$ com o produto $D^n\times {𝕋}^n$ via o difeomorfismo $(𝐟,\overline{\phi })$ obtido na seção anterior. Então se ${\pi }_D:D^n\times {𝕋}^n\to D^n$ é a projeção canônica, as fibras ${{\pi }_D}^{-1}(x)$ são toros invariantes.

Consideraremos o círculo ${𝕊}^1$ como um subgrupo de Lie do grupo ${ℂ}^{\ast }=ℂ-\{0\}\cong {𝕊}^1\times {ℝ}^{+}$. Recordemos que o campo $\partial /\partial \theta$ em ${𝕊}^1$ satisfaz ${p_{\ast }}_s\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{|}_s\right)=\frac{\partial }{\partial \theta }{|}_{p(s)}$, onde $p:ℝ\to {𝕊}^1$ é a aplicação de recobrimento universal $p(s)=e^{is}$. Além disso, para a translação (à esquerda ou à direita, pois o grupo é Abeliano) por $z\in {𝕊}^1$, $T_z:{𝕊}^1\to {𝕊}^1$ definida por $T_z(w)=zw$, vale ${(T_z)}_{\ast }\left(\frac{\partial }{\partial \theta }{|}_w\right)=\frac{\partial }{\partial \theta }{|}_{zw}$. A $1$-forma de ângulo $\mathrm{d}\theta$ é o campo de covetores dual a $\frac{\partial }{\partial \theta }$. Para $f:U\to {𝕊}^1$ suave, ${f_{\ast }}_x(v)=\mathrm{d}{f}_x(v)\cdot \frac{\partial }{\partial \theta }{|}_{f(x)}$, definindo então uma $1$-forma (fechada) $\mathrm{d}f\in {\mathrm{\Omega }}^1(U)$; de fato $\mathrm{d}f=f^{\ast }(\mathrm{d}\theta )$. Para um grupo de Lie $G$ e para funções suaves $f,h:U\to G$, definimos $f\cdot h:U\to G$ pela fórmula $(f\cdot h)(x)=f(x)\cdot h(x)$. Não é difícil ver que ${(f\cdot h{)}_{\ast }}_x={{(L_{f(x)})}_{\ast }}_{h(x)}\circ {h_{\ast }}_x+{(R_{h(x)}{)}_{\ast }}_{f(x)}\circ {f_{\ast }}_x$, onde $L_g,R_g:G\to G$ são os difeomorfismos de translação por $g\in G$ à esquerda e à direita, respectivamente. Feitas essas observações, tornemos ao produto $D^n\times {𝕋}^n$.

Temos

$\frac{\partial }{\partial {\overline{\phi }}^i}=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{X}_k$, onde $a_{ik}:D^n\times {𝕋}^n\to ℝ$ são funções suaves constantes em cada toro invariante. Na expressão da $2$-forma $\omega \in {\mathrm{\Omega }}^2(D^n\times {𝕋}^n)$ no sistema de coordenadas $(𝐟,\overline{\phi })$, não há termos envolvendo $\mathrm{d}{\overline{\phi }}^i\wedge \mathrm{d}{\overline{\phi }}^j$, uma vez que os toros invariantes são subvariedades isotrópicas para $\omega$, i.e., $\omega =0$ em um toro invariante. Para o coeficiente de $\mathrm{d}{\overline{\phi }}^i\wedge \mathrm{d}{f}_j$, temos, uma vez que $X_i⌟\omega =-\mathrm{d}{f}_i$,

$\omega (\frac{\partial }{\partial {\overline{\phi }}^i},\frac{\partial }{\partial f_j})=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}\omega (X_k,\frac{\partial }{\partial f_j})=-\sum _{k=1}^n{a}_{ik}\mathrm{d}{f}_k\left(\frac{\partial }{\partial f_j}\right)=-a_{ij}$, então

$\omega =\sum _{i,j=1}^n{b}_{ij}\mathrm{d}{f}_i\wedge \mathrm{d}{f}_j-\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}\mathrm{d}{\overline{\phi }}^i\wedge \mathrm{d}{f}_j$, para certas funções $b_{ij}$. Já que $\mathrm{d}\omega =0$, temos $\frac{\partial b_{ij}}{\partial {\overline{\phi }}^k}=\frac{\partial a_{ki}}{\partial f_j}-\frac{\partial a_{kj}}{\partial f_i}$. Logo $\partial b_{ij}/\partial {\overline{\phi }}^k$ independe das coordenadas $\overline{\phi }$, pois isso vale para o lado direito. Como são fechadas as curvas integrais dos campos $\frac{\partial }{\partial {\overline{\phi }}^k}$, temos $\partial b_{ij}/\partial {\overline{\phi }}^k=0$. Consequentemente, tanto as funções $a_{ij}$ quanto as funções $b_{ij}$ são constantes em cada toro invariante. Agora escrevemos

$\omega =B-\sum _{i=1}^n\mathrm{d}{\overline{\phi }}^i\wedge A_i$, onde $B=\sum _{i,j=1}^n{b}_{ij}\mathrm{d}{f}_i\wedge \mathrm{d}{f}_j$ e $A_i=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}\mathrm{d}{f}_j$. Como as $a_{ij}$ e as $b_{ij}$ são constantes em cada toro invariante, podemos considerar $A_i$ e $B$ como formas no disco $D^n$, isto é, existem $1$-formas ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\in {\mathrm{\Omega }}^1(D^n)$ e uma $2$-forma $\beta \in {\mathrm{\Omega }}^2(D^n)$ tais que $A_i={{\pi }_D}^{\ast }{\alpha }_i$ e $B={{\pi }_D}^{\ast }\beta$. Novamente usando o fato de que $\omega$ é fechada, concluímos que $\mathrm{d}{A}_i=0$ e $\mathrm{d}B=0$. Como ${\pi }_D$ é submersão sobrejetiva, temos $\mathrm{d}{\alpha }_i=0$ e $\mathrm{d}\beta =0$. Sendo $D^n$ um espaço contrátil, existem uma função suave $𝐈=(I_1,I_2,\dots ,I_n):D^n\to {ℝ}^n$ e uma $1$-forma $\xi \in {\mathrm{\Omega }}^1(D^n)$ tais que $\mathrm{d}{I}_i={\alpha }_i$, $\mathrm{d}\xi =\beta$. Note que $𝐈$ é um difeomorfismo local em torno de $\mathrm{𝟎}$, pois, tendo ${𝐟}_{\ast }$ posto maximal, segue que $\mathrm{d}{I}_1,\dots ,\mathrm{d}{I}_n$ são linearmente independentes no ponto $\mathrm{𝟎}$. Aqui potencialmente reduziremos o raio de $D^n$ para que possamos supor $𝐈$ um difeomorfismo. Defina $J_i=I_i\circ {\pi }_D={{\pi }_D}^{\ast }{I}_i$ e note que $\mathrm{d}{J}_i=A_i$. Como $\omega =B-\sum _{i=1}^n\mathrm{d}{\overline{\phi }}^i\wedge \mathrm{d}{J}_i$, a matriz de $\omega$ na carta $(𝐟,\overline{\phi })$ é

$\left(\begin{array}{cc}0& -\frac{\partial J_i}{\partial f_j}\\ \frac{\partial J_i}{\partial f_j}& b_{ij}\end{array}\right)$.

Já que $\omega$ é não-degenerada, essa matriz é não-singular, logo $\det \left(\frac{\partial J_i}{\partial f_j}\right)\ne 0$. Concluímos que $(J,\overline{\phi })$ é difeomorfismo local; sendo invertível – recorde que $𝐈$ é difeomorfismo –, $(J,\overline{\phi })$ é um sistema de coordenadas em $D^n\times {𝕋}^n$. Agora ajustaremos a escolha da seção $\sigma$. Escreva

$\xi =\sum _{i=1}^n{g}_i\mathrm{d}{I}_i$ onde $g_i:U\to ℝ$ são funções suaves. Para $p:ℝ\to {𝕊}^1$ a aplicação de recobrimento mencionada anteriormente e usando a operação de grupo em ${𝕊}^1$, defina ${\phi }^i:U\to {𝕊}^1$ por $(p\circ g_i\circ {\pi }_D)\cdot {\phi }^i={\overline{\phi }}^i$, notando que $\mathrm{d}{\phi }^i=\mathrm{d}{\overline{\phi }}^i-\mathrm{d}(g_i\circ {\pi }_D)$. Agora,

$\begin{array}{cc}\sum _{i=1}^n\mathrm{d}{J}_i\wedge \mathrm{d}{\phi }^i& =\sum _{i=1}^n\mathrm{d}{J}_i\wedge \mathrm{d}{\overline{\phi }}^i-\sum _{i=1}^n\mathrm{d}{J}_i\wedge {{\pi }_D}^{\ast }(\mathrm{d}{g}_i)\\ & =\sum _{i=1}^n\mathrm{d}{J}_i\wedge \mathrm{d}{\overline{\phi }}^i+\sum _{i=1}^n{{\pi }_D}^{\ast }\mathrm{d}(g_i\mathrm{d}{I}_i)\\ & ={{\pi }_D}^{\ast }(\mathrm{d}\xi )-\sum _{i=1}^n\mathrm{d}{\overline{\phi }}^i\wedge \mathrm{d}{J}_i\\ & =B-\sum _{i=1}^n\mathrm{d}{\overline{\phi }}^i\wedge A_i\\ & =\omega .\end{array}$

Uma vez que $\frac{1}{{(-1)}^{n(n-1)/2}n!}{\omega }^{\wedge n}=\mathrm{d}{J}_1\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{J}_n\wedge \mathrm{d}{\phi }^1\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{\phi }^n$ e ${\omega }^n$ é uma forma de volume pois $\omega$ é não-degenerada, temos que $(J,\phi {)}_{\ast }$ tem posto maximal em todo ponto, portanto $(J,\phi )$ é um difeomorfismo local. Como $(J,\phi )$ possui inversa, serve como sistema semilocal de coordenadas de ângulo-ação, porque $J_i$ é constante em cada toro invariante. Isso finaliza a construção.

Coordenadas de ângulo-ação no fibrado cotangente

No caso de um sistema mecânico cuja variedade de configurações é $M^n$, podemos tomar vantagem da existência de uma $1$-forma global de Liouville no espaço de fase $(T^{\ast }M,\omega )$. Temos que a forma simplética $\omega$ é $\omega =\mathrm{d}\theta$, onde $\theta \in {\mathrm{\Omega }}^1(T^{\ast }M)$ é a $1$-forma tautológica.

Coordenadas de ação

Se for conhecida, numa vizinhança trivializável $U$ de um toro invariante $C_{𝐚}$, uma $1$-forma de Liouville $\theta$, podemos definir coordenadas de ação utilizando um difeomorfismo da forma $(𝐟,\overline{\phi }):U\to D^n\times {𝕋}^n$. Escolhemos ciclos ${{\gamma }_1}^{𝐚},\dots ,{{\gamma }_n}^{𝐚}$ em $C_{𝐚}$ cujas classes de homologia geram o primeiro grupo de homologia $H_1(C_{𝐚};\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^n$. O difeomorfismo $(𝐟,\overline{\phi })=\mathrm{\Phi }$ seleciona então ciclos ${{\gamma }_1}^{𝐛},\dots ,{{\gamma }_n}^{𝐛}$ em $C_{𝐛}$s vizinhos cujas classes geram $H_1(C_{𝐛};\mathbb{Z})$ da seguinte maneira: se $\mathrm{\Phi }\circ {{\gamma }_i}^{𝐚}(t)=(𝐚,{\gamma }_i(t))$, então ${{\gamma }_i}^{𝐛}(t)={\mathrm{\Phi }}^{-1}(𝐛,{\gamma }_i(t))$. Note-se que, se $\gamma$ e ${\gamma }^{\prime }$ são 1-ciclos (suaves) em algum $C_{𝐛}$ que estão na mesma classe de homologia, então $\gamma -{\gamma }^{\prime }=\partial c$, para alguma 2-cadeia (suave) $c$ em $C_{𝐛}$, logo, pelo Teorema de Stokes,

${\oint }_{\gamma }\theta -{\oint }_{{\gamma }^{\prime }}\theta =\underset{\partial c}{\int }\theta =\underset{c}{\int }\omega =0$,

pois os toros invariantes são subvariedades isotrópicas.

Definimos $I_k:D^n\to ℝ$ por

$I_k(𝐛)=\frac{1}{2\pi }{\oint }_{{{\gamma }_k}^{𝐛}}\theta$.

A $k$-ésima coordenada (ou aplicação) de ação é $J_k:U\to ℝ$, $J_k=I_k\circ 𝐟{|}_U$. Essas funções são constantes em cada toro invariante.

Proposição. As funções $J_1,\dots ,J_n$ estão em involução.

Seja ${𝐘}_k$ o campo Hamiltoniano associado à função $J_k$. Temos ${𝐘}_k⌟\omega =-\mathrm{d}{J}_k=-\sum h_{ik}\mathrm{d}{f}_k=\left(\sum h_{ik}{𝐗}_k\right)⌟\omega$, logo $\{J_r,J_s\}=0$ pois $\{f_r,f_s\}=0$.

Coordenadas de ângulo

Construiremos coordenadas de ângulo sob a seguinte hipótese: numa vizinhança fibrada $U$ de $C_{𝐚}$ existe uma carta de Darboux $(p,q):U\to D^n\times {𝕋}^n$ com a propriedade de que $(J,q):U\to {ℝ}^n\times {𝕋}^n$ é um difeomorfismo com a imagem. Dessa hipótese segue que

(i) $J$ é constante ao longo de uma curva integral de $\partial /\partial q^j$;

(ii) podemos supor $I=(I_1,\dots ,I_n)$ um difeomorfismo, donde concluímos que as fibras de $J$ são toros invariantes;

(iii) o conjunto $\{\partial /\partial f_k\mid k=1,\dots ,n\}\cup \{\partial /\partial q^j\mid j=1,\dots ,n\}$ é linearmente independente em todo ponto, pois $𝐟{|}_U\circ (J,q{)}^{-1}(x_1,\dots ,x_n,\dots )=I^{-1}(x_1,\dots ,x_n)$, logo ${𝐟}_{\ast }(\partial /\partial q^j)=0$;

(iv) $\partial /\partial J_i=\sum c_k\cdot \partial /\partial f_k$, onde $c_k:U\to ℝ$, $k=1,\dots ,n$, são funções suaves constantes em cada toro invariante.

No que se segue, $\theta =\sum _i{p}_i\mathrm{d}{q}^i\in {\mathrm{\Omega }}^1(U)$ – não necessariamente a $1$-forma tautológica –, de forma que $\mathrm{d}\theta =\omega {|}_U$.

Procederemos classicamente, construindo uma função (ou quase isso) geradora.

Começaremos cobrindo ${𝕋}^n$ por cartas coordenadas $(W_i,{\beta }_i{)}_{i\in I}$ com ${\beta }_i:W_i\to D^n$ um difeomorfismo. O difeomorfismo $\mathrm{\Phi }$ nos dá uma cobertura de $U$ por cartas coordenadas $(V_i,{\alpha }_i{)}_{i\in I}$, com ${\alpha }_i:V_i\to D^n\times D^n\subset {ℝ}^{2n}$ difeomorfismo tal que ${\mathrm{pr}}_1\circ {\alpha }_i=𝐟{|}_{V_i}$. Para cada $i\in I$ e cada toro invariante $C_{𝐛}$, escolheremos um ponto ${y_i}^{𝐛}\in V_i\cap C_{𝐛}$. Fazemos isso para $C_{𝐚}$ e usamos $\mathrm{\Phi }$ para selecionar em $C_{𝐛}$s vizinhos. Escolhemos para cada $𝐛,i$ um caminho suave em $C_{𝐛}$ entre o ponto seccional $\sigma (𝐛)$ e ${y_i}^{𝐛}$. Temos ${\alpha }_i({y_i}^{𝐛})=(𝐛,\ast )$. Se $x\in V_i\cap C_{𝐛}$, ${\alpha }_i(x)=(𝐛,c_x)$; voltando com o segmento de reta em $\{𝐛\}\times D^n$ entre $\ast$ e $c_x$, obtemos um caminho em $C_{𝐛}\cap V_i$ entre ${y_i}^{𝐛}$ e $x$. Definimos a aplicação suave $S_i:V_i\to ℝ$ por

$S_i(x)=\underset{\gamma }{\int }\theta =\sum _{k=1}^n\underset{\gamma }{\int }{p}_k\mathrm{d}{q}^k$, onde $\gamma$ é o caminho no toro invariante sobre o qual $x$ está, entre o ponto seccional do toro e $x$, formado pela concatenação dos dois caminhos mencionados no parágrafo anterior.

Para encontrarmos a diferença $S_i{|}_{V_i\cap V_j}-S_j{|}_{V_i\cap V_j}$, note que teremos de integrar sobre um laço em um toro invariante. Lembrando-nos de que $\mathrm{d}\theta =\omega$ e da isotropia, passamos à classe de homologia desse loop em $H_1(C_{𝐛};\mathbb{Z})$, aqui gerado pelas classes dos ciclos fundamentais ${{\gamma }_1}^{𝐛},\dots ,{{\gamma }_n}^{𝐛}$. Vemos de imediato que $S_i{|}_{V_i\cap V_j}-S_j{|}_{V_i\cap V_j}=2\pi m_1{J}_1{|}_{V_i\cap V_j}+\dots 2\pi m_n{J}_n{|}_{V_i\cap V_j}$, onde $m_1,\dots ,m_n$ são funções a valores inteiros constantes em cada componente conexa de $V_i\cap V_j$. Existem, portanto, funções que denotaremos por $\frac{\partial S}{\partial q^k}$, $k=1,\dots ,n$, tais que $\frac{\partial S}{\partial q^k}{|}_{V_i}=\frac{\partial S_i}{\partial q^k}$. Analogamente, existem funções ${\phi }^1,\dots ,{\phi }^n:U\to {𝕊}^1$ tais que ${\phi }^k{|}_{V_i}(x)=\exp (\sqrt{-1}\cdot \frac{\partial S_i}{\partial J_k}{|}_x)$.

Note que as 1-formas $\mathrm{d}{\phi }^1,\dots ,\mathrm{d}{\phi }^n$ são localmente exatas com $\mathrm{d}{\phi }^k{|}_{V_i}=\mathrm{d}\left(\frac{\partial S_i}{\partial J_k}\right)$.

Proposição 1. Vale $\frac{\partial S}{\partial q^k}=p_k$.

Prova. Tomando uma curva integral $q^k:(-ϵ,ϵ)\to V_i$ de $\partial /\partial q^k$, temos, uma vez que a imagem de $q^k$ está contida numa vizinhança contrátil de uma subvariedade isotrópica (e usando a fórmula de Stokes),

$\frac{\partial S_i}{\partial q^k}{|}_{q^k(0)}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{|}_{t=0}\underset{{q^k}_t}{\int }\theta =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{|}_{t=0}\underset{{q^k}_t}{\int }{p}_k\mathrm{d}{q}^k$, onde ${q^k}_t=q^k{|}_{[-ϵ/2,t]}$.

A proposição segue.

Proposição 2. Se $x\in U$, então ${\oint }_{{{\gamma }_j}^x}\mathrm{d}{\phi }^i=2\pi {\delta }_i^j.$

Prova. Queremos precisar a manipulação simbólica

$\underset{{\gamma }_j}{\int }\mathrm{d}{\phi }^i=\underset{{\gamma }_j}{\int }\mathrm{d}\left(\frac{\partial S}{\partial J_i}\right)=\frac{\partial }{\partial J_i}\underset{{\gamma }_j}{\int }\mathrm{d}S=\frac{\partial }{\partial J_i}\underset{{\gamma }_j}{\int }\theta =\frac{\partial }{\partial J_i}(2\pi J_j)=2\pi {\delta }_i^j$.

Seja $c_j:ℝ\times U\to U$ definida por $c_j(t,x)={\mathrm{\Phi }}^{-1}(𝐟(x),{\gamma }_j(t))$. Para cada $x_0\in U$ existem uma vizinhança $U_0$ de $x_0$ e uma partição $0=t_0<t_1<t_2<\dots <t_{r-1}<2\pi =t_r$ tais que para cada $1\le k\le r$ existe $\nu =\nu (k)$ com $c_j([t_{k-1},t_k]\times U_0)\subset V_{\nu }$. Então para $x\in U_0$,

$2\pi J_j(x)=\underset{c_j(x,\cdot )}{\int }\theta =\sum _{k=1}^r\underset{t_{k-1}}{\overset{t_k}{\int }}{c_j(x,\cdot )}^{\ast }\theta =\sum _k\underset{t_{k-1}}{\overset{t_k}{\int }}\mathrm{d}(S_{{\nu }_k}\circ c_j(x,\cdot ))=\sum _k[S_{{\nu }_k}\circ c_j(x,t_k)-S_{{\nu }_k}\circ c_j(x,t_{k-1})].$Da observação (iv), temos ${c_j(t,\cdot )}_{\ast }\left(\frac{\partial }{\partial J_i}{|}_x\right)=\frac{\partial }{\partial J_i}{|}_{c_j(t,x)}$. Isso implica o resultado pois $\mathrm{d}{\phi }^i{|}_{V_{{\nu }_k}}=\mathrm{d}\left(\frac{\partial S_{\nu }}{\partial J_i}\right)$.

Proposição 3. A aplicação $(J,\phi )$ é uma carta local simplética.

Temos

$\mathrm{d}{S}_{\nu }=\theta {|}_{V_{\nu }}+\sum _k\frac{\partial S_{\nu }}{\partial J_k}\mathrm{d}{J}_k$. Tomando $\mathrm{d}$ de ambos os membros, obtemos

$0={\mathrm{d}}^2{S}_{\nu }=\omega {|}_{V_{\nu }}+\sum _i\mathrm{d}\left(\frac{\partial S_{\nu }}{\partial J_i}\right)\wedge \mathrm{d}{J}_i=\omega {|}_{V_{\nu }}+\sum _i\mathrm{d}{\phi }^i{|}_{V_{\nu }}\wedge \mathrm{d}{J}_i$, logo $\omega =\sum _i\mathrm{d}{J}_i\wedge \mathrm{d}{\phi }^i$. Disso segue que $(J,\phi )$ é difeomorfismo local.

Proposição 4. A carta $(J,\phi )$ é um difeomorfismo com a imagem (portanto é um simplectomorfismo, ou transformação canônica).

Considere os campos $\partial /\partial {\phi }^i$, tangentes a cada toro invariante – de fato, $\partial /\partial {\phi }^i$ é o campo hamiltoniano associado a $J_i$. O subgrupo de isotropia da ação de $({ℝ}^n,+)$ em um toro invariante $C_{𝐛}$ (fixo) dada pela composição dos fluxos dos $\partial /\partial {\phi }^i$ (restritos a $C_{𝐛}$) é discreto. Seja ${𝐞}_1,\dots ,{𝐞}_n$ uma base. As imagens das curvas $t\mapsto t{𝐞}_i$ são ciclos que geram a primeira homologia de $C_{𝐛}$. Considere a matriz $B\in \mathrm{GL}(n,\mathbb{Z})$ que leva a base dos ciclos fundamentais $\{[{{\gamma }_i}^{𝐛}]\mid i=1,\dots ,n\}\subset H_1(C_{𝐛};\mathbb{Z})$ na base $\{[{\overline{\gamma }}_i]\}$ obtida pelas $t\mapsto (t{𝐞}_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{\Lambda })$. Usando que $\mathrm{d}{\phi }^k$ é fechada, concluímos, pela Proposição 2, que $\frac{1}{2\pi }({{𝐞}_1}^{𝖳}{{𝐞}_2}^{𝖳}\cdots {{𝐞}_n}^{𝖳})=B$, logo $\mathrm{\Lambda }$ é o reticulado canônico $2\pi {\mathbb{Z}}^n$. Temos então um difeomorfismo $\psi :{𝕋}^n={ℝ}^n/\mathrm{\Lambda }\to C_{𝐛}$. Para $\psi :{𝕋}^n\to C_{𝐛}$ temos $(\phi {|}_{C_{𝐛}}\circ \psi {)}_{\ast }(\frac{\partial }{\partial {\theta }^i})=\frac{\partial }{\partial {\theta }^i}$, em seus respectivos espaços tangentes. Disso segue que $\phi {|}_{C_{𝐛}}\circ \psi :{𝕋}^n\to {𝕋}^n$ é uma translação. Portanto $\psi$ inverte $\phi {|}_{C_{𝐛}}$ a menos de uma translação. Isso é dizer que as coordenadas toroidais ${\phi }^1,\dots ,{\phi }^n$ são as coordenadas angulares canônicas em ${𝕋}^n$. Predefinição:Notas e referências