Teorema de Ostrowski

Na teoria dos números, o teorema de Ostrowski, em homenagem a Alexander Ostrowski (1916), afirma que todo valor absoluto não trivial nos números racionais $\mathbb{Q}$ é equivalente ao valor absoluto real usual ou a um [[Valor absoluto p-ádico|valor absoluto Predefinição:Mvar-ádico]].

Definições

Elevar um valor absoluto a uma potência menor que 1 sempre resulta em outro valor absoluto. Dois valores absolutos$|\cdot |$ e $|\cdot {|}_{\ast }$ em um campo $K$ são definidos para serem equivalentes se houver um número real Predefinição:Math de forma que

$\mathrm{\forall }x\in K:|x{|}_{\ast }=|x{|}^c.$

O valor absoluto trivial em qualquer campo K é definido ser

$|x{|}_0:=\{\begin{array}{cc}0& x=0,\\ 1& x\ne 0.\end{array}$

O verdadeiro valor absoluto dos racionais $\mathbb{Q}$ é o valor absoluto padrão em reais, definido ser

$|x{|}_{\mathrm{\infty }}:=\{\begin{array}{cc}x& x\ge 0,\\ -x& x<0.\end{array}$

Isso às vezes é escrito com um subscrito 1 em vez de infinito.

Para um número primo Predefinição:Mvar, o [[Valor absoluto p-ádico|Predefinição:Mvar-ádico]] valor absoluto em $\mathbb{Q}$ é definido da seguinte forma: qualquer $x$ racional diferente de zero pode ser escrito exclusivamente como $x=p^n\frac{a}{b}$, onde Predefinição:Mvar e Predefinição:Mvar são inteiros co-primos não divisíveis por Predefinição:Mvar, e Predefinição:Mvar é um inteiro; então nós definimos

$|x{|}_p:=\{\begin{array}{cc}0& x=0,\\ p^{-n}& x\ne 0.\end{array}$

Prova

Considere um valor absoluto não trivial nos racionais $(\mathbb{Q},|\cdot {|}_{\ast })$. Consideramos dois casos:

$\begin{array}{cc}(1)\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N}|n{|}_{\ast }& >1,\\ (2)\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}|n{|}_{\ast }& \le 1.\end{array}$

É suficiente considerar a avaliação de inteiros maiores que um. Pois, se encontrarmos $c\in {ℝ}_{+}$ para o qual $|n{|}_{\ast }=|n{|}_{\ast \ast }^c$ para todos os naturais maiores do que um, então esta relação trivialmente vale para 0 e 1, e para os racionais positivos

${\left|\frac{m}{n}\right|}_{\ast }=\frac{|m{|}_{\ast }}{|n{|}_{\ast }}=\frac{|m{|}_{\ast \ast }^c}{|n{|}_{\ast \ast }^c}={\left(\frac{|m{|}_{\ast \ast }}{|n{|}_{\ast \ast }}\right)}^c={\left|\frac{m}{n}\right|}_{\ast \ast }^c,$

e para motivos negativos

$|-x{|}_{\ast }=|x{|}_{\ast }=|x{|}_{\ast \ast }^c=|-x{|}_{\ast \ast }^c.$

Caso (1)

Deixe $a,b,n\in \mathbb{N}$ com Predefinição:Math.Expresse Predefinição:Mvar na base Predefinição:Mvar:

$b^n=\sum _{i<m}{c}_i{a}^i,c_i\in \{0,1,\dots ,a-1\},m\le n\frac{\log b}{\log a}+1.$

Então vemos, pelas propriedades de um valor absoluto:

$\begin{array}{cc}|b{|}_{\ast }^n& =|b^n{|}_{\ast }\\ & \le am\max \{|a{|}_{\ast }^{m-1},1\}\\ & \le a(n{\log }_{a}b+1)\max \{|a{|}_{\ast }^{n{\log }_{a}b},1\}\end{array}$

Sendo assim,

$|b{|}_{\ast }\le {(a(n{\log }_{a}b+1))}^{\frac{1}{n}}\max \{|a{|}_{\ast }^{{\log }_{a}b},1\}.$

No entanto, como $n\to \mathrm{\infty }$, temos

$(a(n{\log }_{a}b+1){)}^{\frac{1}{n}}\to 1,$

que implica

$|b{|}_{\ast }\le \max \{|a{|}_{\ast }^{{\log }_{a}b},1\}.$

Agora escolha $1<b\in \mathbb{N}$ de tal modo que $|b{|}_{\ast }>1.$ Usar isso a declaração acima garante que $|a{|}_{\ast }>1$ independentemente da escolha de Predefinição:Mvar (por outro lado $|a{|}_{\ast }^{{\log }_{a}b}\le 1$, implicando $|b{|}_{\ast }\le 1$). Assim, para qualquer escolha de Predefinição:Math acima, temos

$|b{|}_{\ast }\le |a{|}_{\ast }^{\frac{\log b}{\log a}},$

i.e.

$\frac{\log |b{|}_{\ast }}{\log b}\le \frac{\log |a{|}_{\ast }}{\log a}.$

Por simetria, essa desigualdade é uma igualdade.

Uma vez que Predefinição:Mvar foram arbitrários, há uma constante $\lambda \in {ℝ}_{+}$ para qual $\log |n{|}_{\ast }=\lambda \log n$, i.e. $|n{|}_{\ast }=n^{\lambda }=|n{|}_{\mathrm{\infty }}^{\lambda }$ para todos os naturais Predefinição:Math. De acordo com as observações acima, vemos facilmente que $|x{|}_{\ast }=|x{|}_{\mathrm{\infty }}^{\lambda }$ para todos os racionais, demonstrando assim a equivalência ao valor absoluto real.

Caso (2)

Como esta avaliação não é trivial, deve haver um número natural para o qual $|n{|}_{\ast }<1.$ Fatorando em números primos:

$n=\prod _{i<r}{p}_i^{e_i}$

rende que existe $j$ de tal modo que $|p_j|<1.$Afirmamos que, na verdade, isso é verdade apenas para um.

Suponha per contra que Predefinição:Math são primos distintos com valor absoluto menor que 1. Primeiro, deixe $e\in \mathbb{N}$ be such that $|p{|}_{\ast }^e,|q{|}_{\ast }^e<\frac{1}{2}$. Pelo algoritmo euclidiano, existem $k,l\in \mathbb{Z}$ de tal modo que $k{p}^e+l{q}^e=1.$ Isso produz

$1=|1{|}_{\ast }\le |k{|}_{\ast }|p{|}_{\ast }^e+|l{|}_{\ast }|q{|}_{\ast }^e<\frac{|k{|}_{\ast }+|l{|}_{\ast }}{2}\le 1,$

uma contradição.

Então devemos ter $|p_j{|}_{\ast }=\alpha <1$ para alguns Predefinição:Mvar, e $|p_i{|}_{\ast }=1$ for Predefinição:Math. Deixando

$c=-\frac{\log \alpha }{\log p},$

vemos que para naturais positivos gerais

$|n{|}_{\ast }={\left|\prod _{i<r}{p}_i^{e_i}\right|}_{\ast }=\prod _{i<r}{\left|p_i\right|}_{\ast }^{e_i}={\left|p_j\right|}_{\ast }^{e_j}=(p^{-e_j}{)}^c=|n{|}_p^c.$

De acordo com as observações acima, vemos que $|x{|}_{\ast }=|x{|}_p^c$ para todos os racionais, o que implica que o valor absoluto é equivalente ao Predefinição:Mvar-ádico. $◼$

Também se pode mostrar uma conclusão mais forte, ou seja, que $|\cdot {|}_{\ast }:\mathbb{Q}\to ℝ$ é um valor absoluto não trivial se e somente se qualquer um $|\cdot {|}_{\ast }=|\cdot {|}_{\mathrm{\infty }}^c$ para algum $c\in (0,1]$ ou $|\cdot {|}_{\ast }=|\cdot {|}_p^c$ para algum $c\in (0,\mathrm{\infty }),p\in 𝐏$.

Valor absoluto arquimediano

Outro teorema afirma que qualquer campo, completo em relação a um valor absoluto arquimediano, é (algebricamente e topologicamente) isomórfico aos números reais ou aos números complexos. Isso às vezes também é conhecido como teorema de Ostrowski.

Bibliografia

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