Teorema de Poynting

Em Eletrodinâmica e Eletromagnetismo, o teorema de Poynting expressa a lei da conservação da energia para o campo eletromagnético, sob a forma de uma equação diferencial parcial, estabelecida pelo físico britânico John Henry Poynting.

O teorema de Poynting é análogo ao teorema de trabalho e energia da mecânica clássica, e matematicamente semelhante à equação da continuidade, pois relaciona a energia armazenada no campo eletromagnético ao trabalho feito sobre uma distribuição de carga pelo campo elétrico, através do fluxo de energia por unidade de tempo.

Definição

Geral

Em palavras, o teorema é um balanço de energia:

A taxa de transferência de energia (por unidade de volume) a partir de uma região de espaço é igual à taxa de trabalho realizado(por unidade de tempo) sobre uma distribuição de carga, mais o fluxo de energia deixando essa região.

Relaciona a derivada temporal da densidade de energia eletromagnética com o fluxo de energia e a taxa em que o campo elétrico realiza um trabalho sobre uma distribuição de cargas.

Na forma diferencial, pode ser expressada pela fórmula:

                                              $-\frac{\partial u}{\partial t}=\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{S}+\overrightarrow{J}\cdot \overrightarrow{E}$

$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{S}$ é a divergência do vetor de Poynting (fluxo de energia saindo da região), $\overrightarrow{J}\cdot \overrightarrow{E}$ o trabalho realizado pelo campo elétrico sobre uma distribuição de cargas (J é a Densidade de corrente livre devido ao movimento das cargas), e u é a energia armazenada no campo eletromagnético, dada pela formula:

                              $u=\frac{1}{2}(\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{D}+\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{H})=\frac{1}{2}[\underset{V}{\int }{ϵ}_0{E}^{2}dV+\underset{V}{\int }{\mu }_0{H}^{2}dV]$

em que D é o deslocamento elétrico, S é o vetor de Poynting, B representa a densidade de fluxo magnético e H a intensidade de campo magnético.

A partir do teorema da divergência, o teorema de Poynting pode ser reescrito na forma integral:

                        $\frac{\partial }{\partial t}\underset{V}{\int }\frac{1}{2}{ϵ}_0{E}^{2}dV+\frac{\partial }{\partial t}\underset{V}{\int }\frac{1}{2}{\mu }_0{H}^{2}dV=-{\oint }_A(\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H})\cdot d\overrightarrow{A}-\underset{V}{\int }\overrightarrow{J}\cdot \overrightarrow{E}dV$

onde $\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H}$.é o vetor de Poynting instantâneo, ${\mu }_0$ e ${ϵ}_0$ são as constantes de permeabilidades magnética e elétrica do vácuo respectivamente.

Engenharia Elétrica

Do ponto de vista da engenharia elétrica, o teorema geralmente é escrito com o termo densidade de energia eletromagnética $u$ ampliado, de forma que se assemelha à equação da continuidade:

                                     $\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{S}+{ϵ}_0\overrightarrow{E}\cdot \frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}+\frac{\overrightarrow{B}}{{\mu }_0}\cdot \frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}+\overrightarrow{J}\cdot \overrightarrow{E}=0$

Onde:

• ${ϵ}_0$ é a permissividade elétrica do vácuo;
• ${\mu }_0$ é a permeabilidade magnética do vácuo;
• ${ϵ}_0\overrightarrow{E}\cdot \frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}$ é a potência reativa acumulada no campo elétrico;
• $\frac{\overrightarrow{B}}{{\mu }_0}\cdot \frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}$é a potência reativa acumulada no campo magnético;
• $\overrightarrow{J}\cdot \overrightarrow{E}$ representa a densidade de energia elétrica dissipada pela força de Lorentz agindo sobre distribuições de carga.

Verificação do Teorema

Usando o teorema na forma integral, é simples demonstrar a validade do mesmo em um fio circulando uma corrente contínua.

Considere uma corrente $I$ contínua em um comprimento $L$ de um fio de raio $a$. Agora, considerando que os campos elétrico e magnético não variam com o tempo, a taxa de variação da energia armazenada nos mesmos é igual a zero, portanto:

(a) Uma corrente contínua, fluindo na direção +z em um fio de raio a. (b) Seção transversal do fio mostrando a orientação dos campos e o vetor de Poynting instantâneo na superfície do fio.

${\oint }_A(\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H})\cdot d\overrightarrow{A}=-\underset{V}{\int }\overrightarrow{J}\cdot \overrightarrow{E}dV$

A corrente é assumida como estando uniformemente distribuída, de modo que a densidade de corrente seja:

$\overrightarrow{J}=\frac{I}{\pi a^2}\hat{z}$

sendo $\hat{z}$ o vetor unitário apontando na direção +z.

Pela lei de Ohm, o campo elétrico é

$\overrightarrow{E}=\frac{\overrightarrow{J}}{\sigma }=\frac{I}{\pi a^2\sigma }\hat{z}$

sendo $\sigma$ a condutividade elétrica do fio.

No membro direito do teorema, usando coordenadas cilíndricas, temos:

$-\underset{V}{\int }\overrightarrow{J}\cdot \overrightarrow{E}dV=-\frac{I^2}{\sigma (\pi a^2{)}^2}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{a}{\int }}\underset{0}{\overset{L}{\int }}rdzdrd\theta =-I^2\frac{L}{\sigma \pi a^2}=-I^{2}R$

No membro da esquerda, precisamos de H. Aplicando a lei de Ampère, podemos determinar H na superfície do fio como sendo

$\overrightarrow{H}=\frac{I}{2\pi a}\hat{\theta }$

sendo $\hat{\theta }$ o vetor unitário na direção tangente ao fio.

O vetor de poynting instantâneo é:

$\overrightarrow{P}=\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H}=\frac{I}{\sigma \pi a^2}\hat{z}\times \frac{I}{2\pi a}\hat{\theta }$

$\overrightarrow{P}=\frac{I^2}{2{\pi }^2{a}^3\sigma }\hat{r}$

sendo $\hat{r}$ o vetor unitário na direção radial do fio.

O vetor $\overrightarrow{P}$ está direcionado radialmente para o interior do fio. Integrando sobre a superfície, temos:

${\oint }_A(\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H})\cdot \overrightarrow{dA}={\oint }_A\overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{dA}=-\frac{I^{2}a}{2{\pi }^2\sigma a^3}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{L}{\int }}dzd\theta =-I^2\frac{L}{\sigma \pi a^2}=-I^{2}R$

Esta parte do teorema diz que $-I^{2}R$ é a potência fluindo para fora do fio.

Aplicando esses valores no teorema, temos

${\oint }_A(\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H})\cdot \overrightarrow{dA}=-\underset{V}{\int }\overrightarrow{J}\cdot \overrightarrow{E}dV$

$-I^{2}R=-I^{2}R$

Logo, se não há uma variação na energia armazenada no campo eletromagnético que flui nessa região, a potência que flui para fora dessa região do fio é dissipada na forma de trabalho sobre as cargas por efeito joule.