Teorema de Rivlin-Ericksen

O teorema de Rivlin-Ericksen (1955) se deve fundamentalmente a Ronald Rivlin e estabece uma limitação importante à equação constitutiva de um sólido deformável isotrópico e objetivo.

Enunciado do teorema

O teorema afirma que sr $𝐂$ é o tensor de resposta que relaciona o tensor gradiente de deformação F com o tensor tensão T de um material objetivo e isotrópicoo, cujo tensor gradiente de deformação é F então seu tensor tensão é dado por:

$T=𝐂(F)=\overline{𝐂}(F{F}^T)$

Onde:

$\overline{𝐂}:{𝐒}_{>\mathrm{𝟑}}\mathbf{\subset }{𝐌}_{\mathrm{𝟑}}\to {𝐒}_{\mathrm{𝟑}}\subset {𝐌}_{\mathrm{𝟑}}$

$\overline{𝐂}(E)={\beta }_0({\iota }_E)I+{\beta }_1({\iota }_E)E+{\beta }_2({\iota }_E)E^2$

${𝐌}_{\mathrm{𝟑}}$, conjunto de matrizes de 3×3.

${𝐒}_{\mathrm{𝟑}}$, conjunto de matrizes 3×3 simétricas.

${𝐒}_{>\mathrm{𝟑}}$, conjunto de matrizes 3×3 simétricas definidas positivas.

${\iota }_E$, conjunto de invariantes algébricos (traço, invariante quadrático e determinante), da matriz E.

Tendo-se em conta que relação entre o tensor gradiente de deformação F, o tensor de Finger B = FF^T e o tensor deformação espacial (de Almansi) D_e é simplesmente:

$B=F{F}^T=(I-2D_e{)}^{-1}$

Onde I é a matriz identidade, pode ver-se qual é a forma mais geral possível de tensor resposta ou equação constitutiva de um material isotrópico:

$T={\beta }_0({\iota }_B)I+{\beta }_1({\iota }_B)(I-2D_e{)}^{-1}+{\beta }_2({\iota }_B)(I-2D_e{)}^{-2}$

Sólidos elásticos lineares e isotrópicos

Para o caso de sólidos elásticos lineares se pode demonstrar rigorosamente a partir do teorema de Rivlin-Ericksen que o tensor tensão T e o tensor deformação D estão relacionados por:

$T=𝐂(I+2D)=\lambda tr(D)I+2\mu D$

Onde λ w μ recebem os nomes de primeiro e segundo coeficientes de Lamé, e são constantes elásticas específicas de cada material. Ou seja, um sólido elástico linear tem:

${\beta }_0({\iota }_D)=\lambda tr(D)-\mu ;{\beta }_1({\iota }_D)=\mu ;{\beta }_2({\iota }_E)=0$

Ligações externas

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Bibliografia

• Dietrich Braess, Finite Elements: Theory, fast solvers and aplications in solid mechanics, Cambridge University Press, 1997, pp. 254–255.
• Tomas Carlsson, Frank M. Leslie: The development of theory for flow and dynamic effects for nematic liquid crystals, Liquid Crystals, V 26, N 9 / September 1, 1999, pp. 1267 – 1280, URL: taylorandfrancis.metapress.com