Teorema de Simson-Wallace

Predefinição:Orphan O teorema de Simson-Wallace recebe do matemático escocês e professor de matemática da Universidade de Glasgow Robert Simson (14 de outubro de 1687 - 1 de outubro de 1768) e do matemático, astrônomo e inventor do pantografo William Wallace (23 de setembro de 1768 - 28 de abril de 1843). Além do teorema, tanto Simson quanto Wallace tiveram grandes contribuições matemáticas como, por exemplo, uma demonstração para o depois ia ser conhecido como o teorema de Bolyai-Gerwien. O teorema explica quando o triângulo pedal de um ponto é degenerado.

Enunciado do Teorema

Dado um triângulo $ABC$ e um ponto $P$ não situado sobre as retas suportes de seus lados, o triângulo pedal de $P$ em relação a $ABC$ é degenerado se, e somente se, $P$ estiver sobre o círculo circunscrito a $ABC$.

Demonstração

Suponha, sem perda de generalidade, que $P$ é exterior ao triângulo $ABC$ e está situado na região angular $A\hat{B}C$. Considere os pontos $M,N$ e $O$ os pés das perpendiculares baixadas de $P$ com relação as retas suportes dos lados $BC,AC$ e $AB$ respectivamente. Suponha que, sem perda de generalidade que $M$ e $N$ estão nos segmentos $BC$ e $AC$ e que $O$ está no prolongamento de $AB$. Como $P\hat{O}A=P\hat{N}A=90^{\circ }$, o quadrilátero $ANPO$ é inscritível. De modo análogo, temos que $PNMC$ também é inscritível. Então,

$A\hat{P}C-M\hat{P}O=M\hat{P}C-O\hat{P}C=M\hat{N}C-O\hat{N}A$.

Ou seja,

$A\hat{P}C=M\hat{P}O\iff M\hat{N}C=O\hat{N}A\iff M,N$ e $O$são colineares.

Daí, calculando a soma dos ângulos internas de $BCPO$, temos $M\hat{P}O=180^{\circ }-A\hat{B}C$, de modo que

$A\hat{P}C=M\hat{P}O\iff M\hat{P}O+A\hat{B}C=180^{\circ }\iff ABCP$ é inscritível. ${}_{◻}$

A reta determinada por $M,N$ e $O$ recebe o nome de reta de Simson-Wallace relativa ao ponto $P$.

• CAMINHA, Antonio . Tópicos de Matemática Elementar Volume 2 - Geometria Euclidiana Plana - 2a Edição. 2. ed. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2013. v. 2. 464p