Teorema de Van Aubel

O teorema pode ser aplicado para um complexo (auto-intersecção) quadrilateral.

Na geometria, o teorema de Van Aubel descreve a relação entre quadrados construídos a partir de um quadrilátero. Este afirma que os dois segmentos de linha entre os quadrados opostos são de comprimentos iguais e ângulos proporcionais, ou seja, os pontos centrais de quatro quadrados formam os vértices de um quadrilátero equidiagonal e ortodiagonal. Esse teorema foi publicado por H. H. van Aubel em 1978.

Nos triângulos, os triângulos podem formar outros triângulos a partir de uma proporcionalidade formada entre segmentos construídos a partir do baricentro. Essa relação pode ser equacionada:

$\frac{PA}{P{A}^{\prime }}=\frac{B^{\prime }A}{B^{\prime }C}+\frac{C^{\prime }A}{C^{\prime }B}$

$\frac{PA}{P{A}^{\prime }}=\frac{{𝒜}_{PAB}}{{𝒜}_{P{A}^{\prime }B}}=\frac{{𝒜}_{PAC}}{{𝒜}_{P{A}^{\prime }C}}=\frac{{𝒜}_{PAB}+{𝒜}_{PAC}}{{𝒜}_{P{A}^{\prime }B}+{𝒜}_{P{A}^{\prime }C}}=\frac{{𝒜}_{PAB}}{{𝒜}_{PBC}}+\frac{{𝒜}_{PAC}}{{𝒜}_{PBC}}$

$\frac{B^{\prime }A}{B^{\prime }C}=\frac{{𝒜}_{B^{\prime }AB}}{{𝒜}_{B^{\prime }CB}}=\frac{{𝒜}_{B^{\prime }AP}}{{𝒜}_{B^{\prime }CP}}=\frac{{𝒜}_{B^{\prime }AB}-{𝒜}_{B^{\prime }AP}}{{𝒜}_{B^{\prime }CB}-{𝒜}_{B^{\prime }CP}}=\frac{{𝒜}_{PAB}}{{𝒜}_{PBC}}$

$\frac{C^{\prime }A}{C^{\prime }B}=\frac{{𝒜}_{C^{\prime }AC}}{{𝒜}_{C^{\prime }BC}}=\frac{{𝒜}_{C^{\prime }AP}}{{𝒜}_{C^{\prime }BP}}=\frac{{𝒜}_{C^{\prime }AC}-{𝒜}_{C^{\prime }AP}}{{𝒜}_{C^{\prime }BC}-{𝒜}_{C^{\prime }BP}}=\frac{{𝒜}_{PAC}}{{𝒜}_{PCB}}$

Ligações externas

• The Beautiful Geometric Theorem of Van Aubel por Yutaka Nishiyama, International Journal of Pure and Applied Mathematics