Teorema do confronto

Predefinição:Sem fontes Em cálculo, o Teorema do Enquadramento, também conhecido como o teorema do confronto, teorema da sanduíche, a regra da sanduíche, é um teorema relativo ao limite de uma função.

O teorema do confronto é utilizado em cálculo e análise matemática. É tipicamente utilizado para confirmar o limite de uma função através da comparação com duas outras funções cujos limites são conhecidos ou facilmente computados. Foi inicialmente utilizado geometricamente pelos matemáticos Arquimedes e Eudoxo num esforço para calcular π, e foi formulado em termos modernos por Carl Friedrich Gauss.

Em muitas línguas (por exemplo, francês, alemão, italiano, húngaro e russo), o teorema do aperto é também conhecido como o teorema dos dois polícias (e um bêbado), ou alguma variação do mesmo. Nessa história dois polícias estão escoltando um bêbado, não importa o quanto ele cambaleie entre eles, ou que caminho tomam, se forem capazes de o manter entre eles, e os dois polícias estiverem para a mesma cela, o bêbado também irá para essa mesma cela.

Teorema das funções enquadradas (Teorema do confronto para funções)

Seja $D\subseteq ℝ$ e seja $a$ um ponto deste domínio. Sejam $f(x)$, $g(x)$ e $h(x)$ funções reais definidas no domínio $D-\left\{a\right\}$ tais que:

• $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\underset{x\to a}{\lim }h(x)=L$
• $f(x)\le g(x)\le h(x)$

Então, resulta destas condições que:

• $\underset{x\to a}{\lim }g(x)=L$

Teorema das sucessões enquadradas (Teorema do confronto aplicado a sucessões/sequências)

Sejam $a_n$, $b_n$ e $c_n$ sucessões de números reais tais que:

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{c}_n=L$
• $a_n\le b_n\le c_n$

Então, resulta destas condições que:

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n=L$

Para $L$ finito, a sucessão diz-se convergente (para $L$).

Exemplo (com $x\in ℝ$)

Gráfico alusivo ao teorema do confronto.

Considere o gráfico à direita, no qual estão representadas as funções: $f(x)=\frac{1}{x^2}$ (azul escuro), $g(x)=\frac{\sin x}{x^2}$ (cinzento tracejado) e $h(x)=-\frac{1}{x^2}$ (azul ciano).

Repare que a função $g(x)$ está "enquadrada" (i.e., limitada inferior e superiormente) pelas outras duas funções:

• $h(x)\le g(x)\le f(x)$ $\iff -\frac{1}{x^2}\le \frac{\sin x}{x^2}\le \frac{1}{x^2}$

e que

• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{x^2}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }-\frac{1}{x^2}=0$,

Conclui-se que o comportamento de $g(x)$ à medida que $x\to +\mathrm{\infty }$ traduz-se analiticamente por:

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\sin x}{x^2}=0$

O resultado é análogo para as sucessões correspondentes às funções dadas, visto que a única diferença será o domínio da variável $x$ (nesse caso, $x\in \mathbb{N}$).