Teoria de Brill-Noether
Na geometria algébrica, a teoria de Brill-Noether, introduzida por Alexander von Brill e Max Noether, é o estudo dos divisores especiais, certos divisores em uma curva Predefinição:Mvar que determinam funções mais compatíveis do que seria previsto. Na linguagem clássica, os divisores especiais se movem na curva em um sistema linear de divisores "maior que o esperado".
Consideramos uma curva suave projetiva sobre os números complexos (ou sobre algum outro corpo algebricamente fechado).
A condição de ser um divisor especial Predefinição:Mvar pode ser formulada em termos de coomologia de feixe, como o não-nulo da coomologia Predefinição:Math do feixe de seções do feixe invertível ou fibrado de linha associado a Predefinição:Mvar. Isso significa que, pelo teorema de Riemann–Roch, a cohomologia Predefinição:Math ou espaço de seções holomorfas é maior do que o esperado.
Alternativamente, pela dualidade de Serre, a condição é que existam diferenciais holomórficos com divisor Predefinição:Math na curva.
Principais teoremas da teoria de Brill-Noether
Para um dado gênero Predefinição:Mvar, o espaço de módulos para as curvas Predefinição:Mvar do gênero Predefinição:Mvar deve conter um subconjunto denso que parametrize essas curvas com o mínimo na forma de divisores especiais. Um dos objetivos da teoria é 'contar constantes', para essas curvas: prever a dimensão do espaço de divisores especiais (até a equivalência linear) de um dado grau Predefinição:Mvar, como uma função de Predefinição:Mvar, que deve estar presente em um curva desse gênero.
A declaração básica pode ser formulada em termos da variedade Picard Predefinição:Math de uma curva suave Predefinição:Mvar, e o subconjunto de Predefinição:Math correspondente às classes de divisores de divisores Predefinição:Mvar, com valores dados Predefinição:Mvar de Predefinição:Math e Predefinição:Mvar de Predefinição:Math na notação do teorema de Riemann–Roch. Existe um limite inferior Predefinição:Mvar para a dimensão Predefinição:Math deste subesquema em Predefinição:Math :
chamado de número Brill-Noether.
- Eric Larson e Isabel Vogt (2022) provaram que se Predefinição:Math então existe uma curva Predefinição:Mvar interpolando por Predefinição:Mvar pontos gerais em Predefinição:Tmath se e apenas se exceto em 4 casos excepcionais: Predefinição:Math [1] [2]