Torsão de uma curva

Triedro de Frenet-Serret ilustrando os vetores Tangente, Normal e Binormal

Nó toral com vetores tangente T (rosa), normal N (marrom) e binormal B (verde).

A torção(τ) é uma propriedade de curvas no espaço tridimensional (r). Essa propriedade mede o quanto uma curva se projeta para fora do plano de curvatura por meio de um movimento "torsional" que pode ser no sentido de aproximar-se ou afastar-se do vetor normal.

O módulo da torção é dado por $\tau =\frac{||{\mathbf{\text{B}}}^{\prime }||}{||{\mathbf{\text{r}}}^{\prime }||}$ onde $\mathbf{\text{B}}$ é o vetor binormal e $\mathbf{\text{r}}$ é o vetor que descreve uma curva parametricamente.

Calcular a torção por esse método é extremamente trabalhoso porque envolve achar o vetor binormal $\mathbf{\text{B}}$ dado pelo produto vetorial $\mathbf{\text{T}}\times \mathbf{\text{N}}$ o que por sua vez envolve achar os vetores normal $\mathbf{\text{N}}$ e tangente $\mathbf{\text{T}}$ incluindo normalizações e algumas derivações.

Fórmulas mais simples podem ser deduzidas para a torção e para a curvatura que envolvem apenas o vetor $\mathbf{\text{r}}$ e suas derivadas, tornando o cálculo destas uma tarefa consideravelmente mais simples. Elas são dadas por:

$\tau =\frac{{\mathbf{\text{r}}}^{\prime }\times {\mathbf{\text{r}}}^{″}.{\mathbf{\text{r}}}^{‴}}{||{\mathbf{\text{r}}}^{\prime }\times {\mathbf{\text{r}}}^{″}|{|}^2}$ (torção) e $\kappa =\frac{||{\mathbf{\text{r}}}^{\prime }\times {\mathbf{\text{r}}}^{″}||}{||{\mathbf{\text{r}}}^{\prime }|{|}^3}$ (curvatura)

Demonstração

Seja $𝐫(t)$ a parametrização de uma curva e $s(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\Vert r^{\prime }(t)\Vert dt$. Então vale:

1. ${\mathbf{\text{s}}}^{\prime }=||{\mathbf{\text{r}}}^{\prime }||$

2. ${\mathbf{\text{T}}}^{\prime }=s^{\prime }\kappa \mathbf{\text{N}}$

3. ${\mathbf{\text{N}}}^{\prime }=s^{\prime }\tau \mathbf{\text{B}}-s^{\prime }\kappa \mathbf{\text{T}}$,

onde $𝐓$, $𝐍$ e $𝐁$ são os vetores unitários tangente, normal e binormal, respectivamente.

A ideia é calcular as três primeiras derivadas de $\mathbf{\text{r}}$ e relacioná-las à torção e curvatura. Dessa forma:

${\mathbf{\text{r}}}^{\prime }=||{\mathbf{\text{r}}}^{\prime }||\mathbf{\text{T}}$ onde fizemos a decomposição do vetor $\mathbf{\text{r}}$ em módulo $||{\mathbf{\text{r}}}^{\prime }||$ e direção $\mathbf{\text{T}}$

${\mathbf{\text{r}}}^{\prime }=s^{\prime }\mathbf{\text{T}}$ onde utilizamos a igualdade 1.

A derivada segunda de $\mathbf{\text{r}}$ é dada pela derivação da expressão acima de ${\mathbf{\text{r}}}^{\prime }$ utilizando a regra do produto:

${\mathbf{\text{r}}}^{″}=s^{″}\mathbf{\text{T}}+s^{\prime }{\mathbf{\text{T}}}^{\prime }$

Utilizando a igualdade 2. temos:

${\mathbf{\text{r}}}^{″}=s^{″}\mathbf{\text{T}}+s{\text{'}}^2\kappa \mathbf{\text{N}}$

Calculemos a derivada de terceira ordem de $\mathbf{\text{r}}$ derivando a expressão anterior para ${\mathbf{\text{r}}}^{″}$ :

${\mathbf{\text{r}}}^{‴}=s^{‴}\mathbf{\text{T}}+s^{″}{\mathbf{\text{T}}}^{\prime }+2s^{\prime }{s}^{″}\kappa \mathbf{\text{N}}+s{\text{'}}^2({\kappa }^{\prime }\mathbf{\text{N}}+\kappa {\mathbf{\text{N}}}^{\prime })$ onde utilizamos apenas a regra do produto.

Lançando mão das igualdades 2. e 3. (evidenciadas entre colchetes)

${\mathbf{\text{r}}}^{‴}=s^{‴}\mathbf{\text{T}}+s^{″}[s^{\prime }\kappa \mathbf{\text{N}}]+2s^{\prime }{s}^{″}\kappa \mathbf{\text{N}}+s{\text{'}}^2({\kappa }^{\prime }\mathbf{\text{N}}+\kappa [s^{\prime }\tau \mathbf{\text{B}}-s^{\prime }\kappa \mathbf{\text{T}}])$

Simplificando e colocando $\mathbf{\text{T}}$, $\mathbf{\text{N}}$ e $\mathbf{\text{B}}$ em evidência:

${\mathbf{\text{r}}}^{‴}=(s^{‴}-s{\text{'}}^3{\kappa }^2)\mathbf{\text{T}}+(3s^{″}{s}^{\prime }\kappa +s{\text{'}}^2{\kappa }^{\prime })\mathbf{\text{N}}+(s{\text{'}}^3\kappa \tau )\mathbf{\text{B}}$

Nossas três derivações ficaram assim:

${\mathbf{\text{r}}}^{\prime }=s^{\prime }\mathbf{\text{T}}$

${\mathbf{\text{r}}}^{″}=s^{″}\mathbf{\text{T}}+s^{\prime }\kappa \mathbf{\text{N}}$

${\mathbf{\text{r}}}^{‴}=(s^{‴}-s{\text{'}}^3{\kappa }^2)\mathbf{\text{T}}+(3s^{″}{s}^{\prime }\kappa +s{\text{'}}^2{\kappa }^{\prime })\mathbf{\text{N}}+(s{\text{'}}^3\kappa \tau )\mathbf{\text{B}}$

Observemos que

${\mathbf{\text{r}}}^{\prime }\times {\mathbf{\text{r}}}^{″}=(s^{\prime }\mathbf{\text{T}})\times (s^{″}\mathbf{\text{T}}+s{\text{'}}^2\kappa \mathbf{\text{N}})$

${\mathbf{\text{r}}}^{\prime }\times {\mathbf{\text{r}}}^{″}=s{\text{'}}^3\kappa \mathbf{\text{B}}$

Tomando o módulo temos:

$||{\mathbf{\text{r}}}^{\prime }\times {\mathbf{\text{r}}}^{″}||=||s{\text{'}}^3\kappa \mathbf{\text{B}}||$

$||{\mathbf{\text{r}}}^{\prime }\times {\mathbf{\text{r}}}^{″}||=\kappa ||s{\text{'}}^3||$ lembrando que o vetor binormal $\mathbf{\text{B}}$ é unitário

Isolando $\kappa$ obtemos nosso primeiro resultado:

$\kappa =\frac{||{\mathbf{\text{r}}}^{\prime }\times {\mathbf{\text{r}}}^{″}||}{||s{\text{'}}^3||}$ (curvatura)

Agora tomemos o produto escalar de ${\mathbf{\text{r}}}^{\prime }\times {\mathbf{\text{r}}}^{″}$ com ${\mathbf{\text{r}}}^{‴}$

${\mathbf{\text{r}}}^{\prime }\times {\mathbf{\text{r}}}^{″}\cdot {\mathbf{\text{r}}}^{‴}=s{\text{'}}^3\kappa \mathbf{\text{B}}\cdot [(s^{‴}-s{\text{'}}^3{\kappa }^2)\mathbf{\text{T}}+(3s^{″}{s}^{\prime }\kappa +s{\text{'}}^2{\kappa }^{\prime })\mathbf{\text{N}}+(s{\text{'}}^3\kappa \tau )\mathbf{\text{B}}]$

O que se reduz a:

${\mathbf{\text{r}}}^{\prime }\times {\mathbf{\text{r}}}^{″}\cdot {\mathbf{\text{r}}}^{‴}=s{\text{'}}^3\kappa \mathbf{\text{B}}\cdot (s{\text{'}}^3\kappa \tau )\mathbf{\text{B}}$

${\mathbf{\text{r}}}^{\prime }\times {\mathbf{\text{r}}}^{″}\cdot {\mathbf{\text{r}}}^{‴}=s{\text{'}}^6{\kappa }^2\tau$

Sendo $||{\mathbf{\text{r}}}^{\prime }\times {\mathbf{\text{r}}}^{″}||=s{\text{'}}^3\kappa$, temos:

${\mathbf{\text{r}}}^{\prime }\times {\mathbf{\text{r}}}^{″}\cdot {\mathbf{\text{r}}}^{‴}=(s{\text{'}}^3\kappa {)}^2\tau =||{\mathbf{\text{r}}}^{\prime }\times {\mathbf{\text{r}}}^{″}|{|}^2\tau$

Isolando $\tau$:

$\tau =\frac{{\mathbf{\text{r}}}^{\prime }\times {\mathbf{\text{r}}}^{″}\cdot {\mathbf{\text{r}}}^{‴}}{||{\mathbf{\text{r}}}^{\prime }\times {\mathbf{\text{r}}}^{″}|{|}^2}$ (torção)

que é o nosso segundo e principal resultado.

Propriedades da torção

A torção mede a variação do vetor binormal em relação ao comprimento da curva(s).

Além de usar a curva r para calcular a torção, pode-se usar o vetor binormal.

$\frac{dB}{ds}=\frac{d(T\times N)}{ds}=\frac{dT}{ds}\times N+T\times \frac{dN}{ds}$

Como $\frac{dT}{ds}=\kappa N$, $\frac{dB}{ds}=T\times \frac{dN}{ds}$.

Isso implica que $\frac{dB}{ds}$ é ortogonal a T e $\frac{dB}{ds}$ é ortogonal a B.

Logo, $\frac{dB}{ds}$é paralelo a N, ou seja, $\frac{dB}{ds}=-\tau N$.

O sinal negativo indica que quando $\tau >0,\frac{dB}{ds}$ está no sentido -$\mathbf{\text{N}}$. Então, se P é um ponto sobre a curva movendo-se no sentido positivo, $\mathbf{\text{B}}$ gira em torno de $\mathbf{\text{T}}$ como um parafuso de rosca direita sendo apertado, caso seja negativa, seria como um parafuso de rosca esquerda.

Quanto maior o valor da torção, mais esticada são as curvas. No entanto, se esticada até o infinito, a curva passa a ser uma reta.
Predefinição:Notas Predefinição:Referências