Transformação de Möbius

Em geometria, uma transformação de Möbius é uma função da forma:

$f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$

de uma variável complexa z, e onde os coeficientes a, b, c, d são números complexos que verificam que ad − bc ≠ 0.

Geometricamente uma transformação de Möbius pode ser descrita aplicando a projeção estereográfica inversa do plano para a esfera unitária, movendo e girando a esfera para uma nova posição e orientação no espaço e, em seguida, aplicando uma projeção estereográfica para mapear da esfera de volta para o plano.

Tais transformações são conformes e portanto preservam ângulos. Também, transformam linhas em circunferências e vice-versa.

Transformações de möbius simples e composições

Uma transformação de Möbius pode ser descrita como a composição de uma sequência de funções simples. As seguintes transformações também são transformações de Möbius:

• $f(z)=z+b(a=1,c=0,d=1)$ é uma translação.
• $f(z)=az(b=0,c=0,d=1)$ é uma combinação de uma homotetia (escalonamento uniforme) e uma rotação. Se $|a|=1$, então é uma rotação; se $a\in ℝ$, então é uma homotetia.
• $f(z)=1/z(a=0,b=1,c=1,d=0)$ é uma inversão e uma reflexão em relação ao eixo real.

Composição de Transformações Simples

Se $c\ne 0$, definimos:

• $f_1(z)=z+d/c$ (translação por d/c)
• $f_2(z)=1/z$ (inversão e reflexão em relação ao eixo real)
• $f_3(z)=\frac{bc-ad}{c^2}z$ (homotetia e rotação)
• $f_4(z)=z+a/c$ (translação por a/c)

Então, essas funções podem ser compostas, mostrando que, se$$f(z)=\frac{az+b}{cz+d},$$temos$$f=f_4\circ f_3\circ f_2\circ f_1.$$Em outras palavras, podemos reescrever como$$\frac{az+b}{cz+d}=\frac{a}{c}+\frac{e}{z+\frac{d}{c}}$$ onde$$e=\frac{bc-ad}{c^2}.$$Essa decomposição torna muitas propriedades da transformação de Möbius evidentes.