Translação (geometria)

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Na geometria euclidiana, uma translação é uma transformação geométrica que move todos os pontos de uma figura ou espaço, na mesma distância em uma determinada direção.

Na geometria euclidiana, uma transformação é uma correspondência de um para um entre dois conjuntos de pontos ou uma aplicação de um plano para outro.^[1] Uma translação pode ser descrita como um movimento rígido: os outros movimentos rígidos são rotações, reflexos e reflexão com deslizamento.

Uma translação também pode ser interpretada como a adição de um vetor constante a cada ponto, ou como o deslocamento da origem do sistema de coordenadas.

Um operador de translação é o operador $T_{δ}$ tal que $T_{δ} f (𝐯) = f (𝐯 + δ) .$

E se $𝐯$ é um vetor fixo, então a translação $T_{𝐯}$ vai funcionar como $T_{𝐯} (𝐩) = 𝐩 + 𝐯 .$

E se $T$ é uma translação, então a imagem do subconjunto $A$ sob a função $T$ é a translação de $A$ por $T .$ A translação de $A$ por $T_{𝐯}$ é frequentemente escrita $A + 𝐯 .$

Em um espaço euclidiano, qualquer translação é uma isometria. O conjunto de todas as translações forma o grupo de translação $𝕋,$ que é isomórfico ao próprio espaço, e um subgrupo normal do grupo euclidiano $E (n) .$ O grupo quociente de $E (n)$ por $𝕋$ é isomorfo ao grupo ortogonal $O (n) :$

$E (n) / 𝕋 ≅ O (n)$

Representação matricial

Uma translação é uma transformação afim sem pontos fixos. As multiplicações de matrizes sempre têm a origem como um ponto fixo. No entanto, há uma solução alternativa comum usando coordenadas homogêneas para representar uma translação de um espaço vetorial por meio de uma multiplicação matricial: Escreva o vetor tridimensional $𝐯 = (v_{x}, v_{y}, v_{z})$ usando 4 coordenadas homogêneas como $𝐯 = (v_{x}, v_{y}, v_{z}, 1) .$ ^[2]

Para transladar um objeto por um vetor $𝐯,$ cada vetor homogêneo $𝐩$ (escrito em coordenadas homogêneas) pode ser multiplicado por esta matriz de translação:

$T_{𝐯} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & v_{x} \\ 0 & 1 & 0 & v_{y} \\ 0 & 0 & 1 & v_{z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$

Conforme mostrado abaixo, a multiplicação dará o resultado esperado:

$T_{𝐯} 𝐩 = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & v_{x} \\ 0 & 1 & 0 & v_{y} \\ 0 & 0 & 1 & v_{z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} p_{x} \\ p_{y} \\ p_{z} \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} p_{x} + v_{x} \\ p_{y} + v_{y} \\ p_{z} + v_{z} \\ 1 \end{matrix}] = 𝐩 + 𝐯$

O inverso de uma matriz de translação pode ser obtido invertendo o sentido do vetor:

$T_{𝐯}^{- 1} = T_{- 𝐯} .$

Da mesma forma, o produto das matrizes de translação é dado pela adição dos vetores:

$T_{𝐯} T_{𝐰} = T_{𝐯 + 𝐰} .$

Como a adição de vetores é comutativa, a multiplicação de matrizes de translação também é comutativa (ao contrário da multiplicação de matrizes arbitrárias).

Translações na física

Na física, a translação (movimento translacional) é o movimento que altera a posição de um objeto, se opondo à rotação. Por exemplo, de acordo com Whittaker: ^[3]^[4] Predefinição:Quote

Uma translação é a operação que altera as posições de todos os pontos $(x, y, z)$ de um objeto de acordo com a fórmula:

$(x, y, z) \to (x + Δ x, y + Δ y, z + Δ z)$

em que $(Δ x, Δ y, Δ z)$ é o mesmo vetor para cada ponto do objeto. O vetor de translação $(Δ x, Δ y, Δ z)$ comum a todos os pontos do objeto descreve um determinado tipo de deslocamento do objeto, geralmente chamado de deslocamento linear para distingui-lo dos deslocamentos que envolvem rotação, denominados deslocamentos angulares.

Ao considerar o espaço-tempo, uma mudança de coordenada no tempo é considerada uma translação. Por exemplo, o grupo de Galileu e o grupo de Poincaré incluem translações em relação ao tempo.