Grupo ortogonal

Predefinição:Grupos de Lie Em matemática, um grupo ortogonal é um grupo de todas as transformações lineares de um espaço vetorial $V$ de $n$ dimensões de um campo, que preserva a um $k$ não singular fixo de forma quadrática $Q$ em $V$, (ou seja, as transformações lineares $\varphi$ tal que $Q(\varphi (v))=Q(v)$ para todos $v\in V$). Um grupo ortogonal é um grupo clássico. Os elementos de um grupo ortogonal são chamados transformações ortogonais de $V$ (com relação a $Q$), ou também de automorfismos de forma $Q$.

Além disso, permita $\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}k\ne 2$ (para grupos ortogonais sobre os campos com característica 2 e deixe $f$ ser a forma bilinear simétrica não singular em $V$ relacionada com o $Q$ pela fórmula

$f(u,v)=\frac{1}{2}(Q(u+v)-Q(u)-Q(v))$

O grupo ortogonal, então, consiste naqueles transformações lineares de V que preservam f, e é indicado por $O_n(k,f)$ ou (quando está se falando de um campo específico $k$ e uma forma específica $f$) simplesmente por $O_n$ . Se $B$ é a matriz de $f$ em relação a algumas bases de $V$, então o grupo ortogonal pode ser identificado com o grupo de todos os $(n\times n)$-matrizes A com coeficientes de $k$ tal que $A^{T}BA=B$ (onde ${}^T$ representa a matriz transposta). O determinante de uma matriz ortogonal sendo 1 ou -1, um subgrupo importante de $O_{(}n)$ é o grupo especial ortogonal, denotado $S{O}_{(}n)$, das matrizes ortogonais do determinante 1. Predefinição:Referências Predefinição:Portal3 Predefinição:Controle de autoridade Predefinição:Esboço-matemática