Trocoide

Trocoide r = 1, h = 0,8

Trocoide, em geometria, é o plano da curva descrito por um ponto ligado a um Círculo gerador, que rola sobre uma guia linear de forma tangencial, sem escorregar. A palavra vem da raiz grega trokos (roda) e foi um termo inventado por Gilles Personne de Roberval.

Descrição geral

Uma abordagem mais geral definiria um trocóide como o locus de um ponto $(x,y)$ orbitando a uma razão constante em torno de um eixo localizado em $(x^{\prime },y^{\prime })$,

$x=x^{\prime }+r_1\cos ({\omega }_{1}t+{\varphi }_1),y=y^{\prime }+r_1\sin ({\omega }_{1}t+{\varphi }_1),r_1>0,$

em qual eixo está sendo transladado no plano x-y a uma taxa constante em uma linha reta,

$\begin{array}{c}{x}^{\prime }=x_0+v_{2x}t,y^{\prime }=y_0+v_{2y}t\\ \therefore x=x_0+r_1\cos ({\omega }_{1}t+{\varphi }_1)+v_{2x}t,y=y_0+r_1\sin ({\omega }_{1}t+{\varphi }_1)+v_{2y}t,\end{array}$

ou um caminho circular (outra órbita) ao redor $(x_0,y_0)$ (o caso hipotrocoide/epitrocoide),

$\begin{array}{c}{x}^{\prime }=x_0+r_2\cos ({\omega }_{2}t+{\varphi }_2),y^{\prime }=y_0+r_2\sin ({\omega }_{2}t+{\varphi }_2),r_2\ge 0\\ \therefore x=x_0+r_1\cos ({\omega }_{1}t+{\varphi }_1)+r_2\cos ({\omega }_{2}t+{\varphi }_2),y=y_0+r_1\sin ({\omega }_{1}t+{\varphi }_1)+r_2\sin ({\omega }_{2}t+{\varphi }_2),\end{array}$

A proporção das taxas de movimento e se o eixo móvel se traduz em um caminho reto ou circular determina a forma do trocóide. No caso de um caminho reto, uma rotação completa coincide com um período de um local periódico (repetitivo). No caso de um caminho circular para o eixo móvel, o locus é periódico apenas se a proporção desses movimentos angulares, ${\omega }_1/{\omega }_2$,é um número racional, digamos $p/q$, onde $p$ & $q$ são coprimos, caso em que, um período consiste em orbita $p$ em torno do eixo móvel e órbitas $q$ do eixo móvel em torno do ponto$(x_0,y_0)$. Os casos especiais do epicicloide e do hipocicloide, gerados pelo traçado do locus de um ponto no perímetro de um círculo de raio $r_1$ enquanto é enrolado no perímetro de um círculo estacionário de raio $R$, têm as seguintes propriedades:

$\begin{array}{ccc}\text{epitrocoide: }& {\omega }_1/{\omega }_2& =p/q=r_2/r_1=R/r_1+1,|p-q|\text{ cúspides}\\ \text{hipotrocoide: }& {\omega }_1/{\omega }_2& =p/q=-r_2/r_1=-(R/r_1-1),|p-q|=|p|+|q|\text{ cúspides}\end{array}$

onde $r_2$ é o raio da órbita do eixo móvel. O número de cúspides fornecido acima também é verdadeiro para qualquer epitrocoide e hipotrocoide, com "cúspides" substituídas por "máximos radiais" ou "mínimos radiais".Predefinição:Referências Predefinição:Esboço-matemática Predefinição:Portal3 Predefinição:Controle de autoridade