Variação total

Em análise matemática, define-se a variação total de uma função $f:D\to ℝ$ em um intervalo $[a,b]\subseteq D$ como:

${\text{var}}_{[a,b]}(f)=\sup \sum _i|f(x_i)-f(x_{i-1})|$

As variações positiva e negativa de uma função $f:D\to ℝ$ em um intervalo $[a,b]\subseteq D$ são definidas, respectivamente, como:

${\text{var}}_{[a,b]}^{+}(f)=\sup \sum _{(+)}|f(x_i)-f(x_{i-1})|$

${\text{var}}_{[a,b]}^{-}(f)=\sup \sum _{(-)}-|f(x_i)-f(x_{i-1})|$

Em todos os casos o supremo é tomado sob todas as possíveis partições $x_1,x_2,x_3,\dots$ do intervalo $[a,b]$, $(+)$ significa para todo $i$ tal que $f(x_i)\ge f(x_{i-1})$ e $(-)$ significa para todo $i$ tal que $f(x_i)\le f(x_{i-1})$.

Propriedades da variação total

1. Se $f$ é um função monótona, então:

${\text{var}}_{[a,b]}(f)=|f(a)-f(b)|$

2. Se $f$ uma função real, então:

${\text{var}}_{[a,b]}(f)\ge {\text{var}}_{[c,d]}(f)$, sempre que $a\le c\le d\le b$.

3. Se $f$ e $g$ são funções reais, vale

${\text{var}}_{[a,b]}(f+g)\le {\text{var}}_{[a,b]}(f)+{\text{var}}_{[a,b]}(g)$,

4. Se $f$ uma função real, então:

${\text{var}}_{[a,b]}(\alpha f)=|\alpha |{\text{var}}_{[a,b]}(f),\mathrm{\forall }\alpha \in ℝ$,

5. Se $f$ uma função real, então:

${\text{var}}_{[a,c]}(f)={\text{var}}_{[c,b]}(f)+{\text{var}}_{[b,c]}(f),\mathrm{\forall }c\in [a,b]$,

Relações entre as variações total, positiva e negativa

1. ${\text{var}}_{[a,b]}(f)={\text{var}}_{[a,b]}^{+}(f)+{\text{var}}_{[a,b]}^{-}(f)$.

2. $f(x)-f(a)={\text{var}}_{[a,b]}^{+}(f)-{\text{var}}_{[a,b]}^{-}(f)$.

Função de variação limitada

Diz-se que uma função real $f:D\to ℝ$ é de variação limitada em um intervalo $[a,b]$ se e somente se, para qualquer $\alpha <\mathrm{\infty }$ vale que:

${\text{var}}_{[a,b]}(\alpha f)<\mathrm{\infty }$

Exemplo

Funções crescentes em um intervalo $[a,b]$ são de variação limitada neste intervalo.

Demonstração

Se $f$ é um função crescente em $[a,b]$, então ${\text{var}}_{[a,b]}(\alpha f)=\alpha \sup \sum _i|f(x_i)-f(x_{i-1})|=\alpha \sup \sum _{i}f(x_i)-f(x_{i-1})\le \alpha (f(b)-f(a))<\mathrm{\infty }$.

Teorema

Uma função $f$ é de variação limitada em $[a,b]$ se, e somente se, $f$ é a diferença entre duas funções crescentes limitadas.

Demonstração

Se $f(x)=f_1(x)-f_2(x)$, com $f_1,f_2$ crescentes e limitadas, então ${\text{var}}_{[a,b]}(\alpha f)={\text{var}}_{[a,b]}(\alpha (f_1(x)-f_2(x)))\le {\text{var}}_{[a,b]}(\alpha f_1(x))-{\text{var}}_{[a,b]}(\alpha f_2(x))\mathrm{\infty }$.

Por outro lado, se $f$ é devariação limitada em $[a,b]$, então considere $f_1(x)={\text{var}}_{[a,b]}^{+}(f)$ e $f_2(x)={\text{var}}_{[a,b]}^{-}(f)$. Obviamente $f_1$ e $f_2$ são funções crescentes e limitadas. Com isto temos que

$f(x)={\text{var}}_{[a,b]}^{+}(f)+f(a)-{\text{var}}_{[a,b]}^{-}(f)=f_1(x)+f_2(x)$.

Relação com a diferenciabilidade

Seja $f:D\to ℝ$ uma função de classe $C^1[a,b]$, então:

${\text{var}}_{[a,b]}(f)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f^{\prime }(x)|dx$

A continuidade, no entanto, não garante que a função seja de variação limitada, um contra-exemplo é:

$f(x)=\{\begin{array}{cc}x\cos \left(\frac{\pi }{x}\right),& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}$

Esta função é contínua mas não é de variação limitada no intervalo $[0,1]$. Para provar isso considere o seguintes pontos:

$x_n=\frac{1}{n+1},f(x_n)=\frac{1}{n+1}(-1{)}^n,n=0,1,2,\dots$

Assim

$|f(x_n)-f(x_{n-1})|=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}>1/n,n=1,2,3,\dots$

Portanto, ${\text{var}}_{[0,1]}(f)\ge \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}=+\mathrm{\infty }$

Relação com a integrabilidade

A seguinte integral

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)d\gamma (x)$

é bem conhecida quando temos $\gamma (x)=x$. Além disso, é sabido que, na verdade, é suficiente exigir que $\gamma$ seja uma função crescente. Porém, note agora que é suficiente exigir que $\gamma$ seja um função de variação limitada, pois neste caso temos que

$\gamma (x)={\lambda }_1(x)-{\lambda }_2(x)$,

onde ${\lambda }_1$ e ${\lambda }_2$ são funções crescentes e limitadas.

Portanto, temos que

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)d\gamma (x)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)d({\lambda }_1(x)-{\lambda }_2(x))=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)d{\lambda }_1(x)-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)d{\lambda }_2(x)$.

References

• Predefinição:Citation.