Wronskiano

Em matemática, wronskiano é uma função aplicada especialmente no estudo de equações diferenciais. O nome dessa função é uma homenagem ao matemático polonês Josef Wronski.

Dado um conjunto de funções f₁, f₂, ... f_n, define-se o Wronskiano de acordo com o determinante:

$W(f_1,\dots ,f_n)=\left|\begin{array}{cccc}{f}_1& f_2& \cdots & f_n\\ {f_1}^{\prime }& {f_2}^{\prime }& \cdots & {f_n}^{\prime }\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ f_1^{(n-1)}& f_2^{(n-1)}& \cdots & f_n^{(n-1)}\end{array}\right|$.

Este determinante é construído pondo as funções na primeira linha, as primeiras derivadas de cada função na segunda linha, assim procedendo até a derivada de ordem (n-1), formando assim um arranjo quadrado denominado matriz fundamental.

Wronskiano e independência linear

O Wronskiano é utilizado para determinar se um conjunto de funções diferenciáveis são linearmente dependentes ou independentes, em um dado intervalo. Caso o Wronskiano seja diferente de zero em algum ponto do intervalo, as funções são linearmente independentes.

Este conceito é muito útil em diversas situações, por exemplo na verificação se duas funções que são soluções de uma EDO de segunda ordem são linearmente dependentes ou independentes. Um erro muito comum é falar que as funções são linearmente dependentes quando W=0. Giuseppe Peano foi um dos primeiros a apontar a inconsistência desse fato ao mostrar que as funções f(x) = x² e g(x) = x|x|, que são linearmente independentes, tem o W=0. Algum tempo depois, Maxime Bôcher mostrou que existem infinitas funções que possuem essa mesma propriedade. Uma mostra de tal é dada no exemplo 3.

Exemplos

• Considere as funções $x^2,$ $x,$ e $1,$ definido para o conjunto dos números reais. O Wronskiano correspondente é:

$W=\left|\begin{array}{ccc}{x}^2& x& 1\\ 2x& 1& 0\\ 2& 0& 0\end{array}\right|=-2.$

Pode-se notar que W é diferente de zero para qualquer número real. Portanto, essas funções certamente são linearmente independentes.

• Considere as funções $2x^2+3$, $x^2$ e $1$. Existe uma clara dependência linear entre essas funções, já que $2x^2+3=2(x^2)+3(1).$ Logo, o Wronskiano associado deve ser igual a zero:

$W=\left|\begin{array}{ccc}2x^2+3& x^2& 1\\ 4x& 2x& 0\\ 4& 2& 0\end{array}\right|=8x-8x=0.$

• Como foi dito acima, W=0 não quer dizer que as funções são linearmente dependentes. Considere as funções $x^3$e $|x^3|$ (valor absoluto de $x^3$) no intervalo ($-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }$), que pode ser escrita como:

$|x^3|=\{\begin{array}{cc}-x^3,& \mathrm{s}\mathrm{e}x<0\\ x^3,& \mathrm{s}\mathrm{e}x\ge 0\end{array}$

Pode-se perceber que essas funções são linearmente independentes, pois não existem constantes $a$ e $b$ diferentes simultaneamente de 0 tais que $a\cdot x^3+b\cdot |x^3|=0$ para qualquer valor de x. Entretanto, seu Wronskiano é zero:

$W=\{\begin{array}{cc}\left|\begin{array}{cc}{x}^3& -x^3\\ 3x^2& -3x^2\end{array}\right|=-3x^5+3x^5=0,& \mathrm{s}\mathrm{e}x<0\\ \left|\begin{array}{cc}{x}^3& x^3\\ 3x^2& 3x^2\end{array}\right|=3x^5-3x^5=0,& \mathrm{s}\mathrm{e}x\ge 0\end{array}$

O intervalo é importante na consideração de dependência e independência linear. As funções $x^3$e $|x^3|$no intervalo $(0,\mathrm{\infty })$são linearmente dependentes uma vez que $1\cdot x^3+(-1)\cdot |x^3|=0$.

Ver também

• Equação diferencial ordinária

Ligações externas

• Artigo baseado no site PlanetMath. Apresenta licença GFDL.
• Predefinição:((en)) Mais sobre Wronskianos, de Paul's Online Math Notes

Predefinição:Classes de matriz