Álgebra diferencial

Predefinição:Sem notas Em matemática, anéis diferenciais, corpos diferenciais e álgebras diferenciais são anéis, corpos e álgebras equipados com uma derivação, a qual é um função unária satisfazendo a lei do produto de Leibniz. Um exemplo natural de corpo diferencial é o corpo de funções sobre os números complexos em uma variável, C(t), onde a derivação é diferenciação com relação a t.

Anel diferencial

Um anel diferencial é um anel R equipado com uma ou mais derivações, isto é, homomorfismos aditivos

$\partial :R\to R$

tais que cada derivação satisfaz a regra do produto de Leibniz

$\partial (r_1{r}_2)=(\partial r_1)r_2+r_1(\partial r_2),$

para quaisquer $r_1,r_2\in R$.

Observe que o anel pode não ser comutativo, então a forma razoavelmente padrão d(xy) = xdy + ydx para a regra do produtoem contextos comutativos pode ser falsa. Se $M:R\times R\to R$ é a multiplicação no anel, a regra do produto é a igualdade

$\partial \circ M=M\circ (\partial \otimes \mathrm{id})+M\circ (\mathrm{id}\otimes \partial ).$

em que $f\otimes g$ é a função que leva o par $(x,y)$ no par $(f(x),g(y))$.

Referências

• Buium, Differential Algebra and Diophantine Geometry, Hermann (1994).
• I. Kaplansky, Differential Algebra, Hermann (1957).
• E. Kolchin, Differential Algebra and Algebraic Groups, 1973
• D. Marker, Model theory of differential fields, Model theory of fields, Lecture notes in Logic 5, D. Marker, M. Messmer and A. Pillay, Springer Verlag (1996).
• A. Magid, Lectures on Differential Galois Theory, American Math. Soc., 1994