Mostrar código-fonte de Campos vetoriais em coordenadas cilíndricas e esféricas

[[Ficheiro:3D_Spherical.svg|direita|miniaturadaimagem|240x240px| Coordenadas esféricas ( ''r'', ''&#x3B8;'', ''φ'' ) como comumente usadas em ''física'' : distância radial ''r'', ângulo polar ''&#x3B8;'' ( [[Θ|teta]] ) e ângulo azimutal ''φ'' ( [[Φ|phi]] ). O símbolo ''ρ'' ( [[Ρ|rho]] ) é frequentemente usado em vez de ''r'' . ]]
Nota: Esta página usa notação física comum para coordenadas esféricas, em que <math>\theta</math> é o ângulo entre o eixo ''z'' e o [[vetor]] do raio conectando a origem ao ponto em questão, enquanto <math>\phi</math> é o ângulo entre a projeção do [[vetor]] raio no plano ''xy'' e o eixo ''x'' . Várias outras definições estão em uso e, portanto, deve-se ter cuidado ao comparar diferentes fontes.<ref name="wolfram">[http://mathworld.wolfram.com/CylindricalCoordinates.html Wolfram Mathworld, spherical coordinates]</ref>

== Sistema de coordenadas cilíndricas ==

=== Campos vetoriais ===
Os vetores são definidos em [[coordenadas cilíndricas]] por (''ρ'', φ, ''z''), onde

* ''ρ'' é o comprimento do vetor projetado no plano ''xy'' , 
* φ é o ângulo entre a projeção do vetor no plano ''xy'' (ou seja, ''ρ'' ) e o eixo ''x'' positivo (0 ≤ φ <2π), 
* ''z'' é a coordenada ''z''.

(''ρ'', φ, ''z'') é dado em [[Sistema de coordenadas cartesiano|coordenadas cartesianas]] por:

: <math>\begin{bmatrix} \rho \\ \phi \\ z \end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
\sqrt{x^2 + y^2} \\ \operatorname{arctan}(y / x) \\ z
\end{bmatrix},\ \ \ 0 \le \phi < 2\pi,
</math>[[Ficheiro:Physics_Coordinates.png|miniaturadaimagem]]

ou inversamente por:

: <math>\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} \rho\cos\phi \\ \rho\sen\phi \\ z \end{bmatrix}.</math>

Qualquer [[campo vetorial]] pode ser escrito em termos de vetores unitários como:

: <math>\mathbf A = A_x \mathbf{\hat x} + A_y \mathbf{\hat y} + A_z \mathbf{\hat z} 
         = A_\rho \mathbf{\hat \rho} + A_\phi \boldsymbol{\hat \phi} + A_z \mathbf{\hat z}</math>

Os vetores unitários cilíndricos estão relacionados aos vetores unitários cartesianos por:

: <math>\begin{bmatrix}\mathbf{\hat \rho} \\ \boldsymbol{\hat\phi} \\ \mathbf{\hat z}\end{bmatrix}
 = \begin{bmatrix} \cos\phi & \sen\phi & 0 \\
          -\sen\phi & \cos\phi & 0 \\
          0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix} \mathbf{\hat x} \\ \mathbf{\hat y} \\ \mathbf{\hat z} \end{bmatrix}</math>

Nota: a matriz é uma [[matriz ortogonal]], ou seja, seu inverso é simplesmente sua [[Matriz transposta|transposta]] .

=== Derivada do tempo de um campo vetorial ===
Para descobrir como o campo vetorial A muda no tempo, calculamos as derivadas do tempo. Para este efeito, usamos a notação de Newton para a derivada de tempo ( <math>\dot{\mathbf{A}}</math> ) Em coordenadas cartesianas, isso é simplesmente:

: <math>\dot{\mathbf{A}} = \dot{A}_x \hat{\mathbf{x}} + \dot{A}_y \hat{\mathbf{y}} + \dot{A}_z \hat{\mathbf{z}}</math>

No entanto, em coordenadas cilíndricas, isso se torna:

: <math>\dot{\mathbf{A}} = \dot{A}_\rho \hat{\boldsymbol{\rho}} + A_\rho \dot{\hat{\boldsymbol{\rho}}} 
 + \dot{A}_\phi \hat{\boldsymbol{\phi}} + A_\phi \dot{\hat{\boldsymbol{\phi}}}
 + \dot{A}_z \hat{\boldsymbol{z}} + A_z \dot{\hat{\boldsymbol{z}}}</math>

Precisamos das derivadas no tempo dos vetores unitários. Eles são dados por:

: <math>\begin{align}
 \dot{\hat{\mathbf{\rho}}} & = \dot{\phi} \hat{\boldsymbol{\phi}} \\
 \dot{\hat{\boldsymbol{\phi}}} & = - \dot\phi \hat{\mathbf{\rho}} \\
 \dot{\hat{\mathbf{z}}} & = 0
 \end{align}</math>

Portanto, a derivada no tempo simplifica para:

: <math>\dot{\mathbf{A}} = \hat{\boldsymbol{\rho}} (\dot{A}_\rho - A_\phi \dot{\phi})
 + \hat{\boldsymbol{\phi}} (\dot{A}_\phi + A_\rho \dot{\phi})
 + \hat{\mathbf{z}} \dot{A}_z</math>

=== Segunda derivada no tempo de um campo vetorial ===
A derivada do segundo tempo é de interesse da [[física]], pois é encontrada em [[equações de movimento]] para sistemas [[Mecânica clássica|mecânicos clássicos]] . A segunda derivada de um campo vetorial em coordenadas cilíndricas é dada por:

: <math>\mathbf{\ddot A} = \mathbf{\hat \rho} (\ddot A_\rho - A_\phi \ddot\phi - 2 \dot A_\phi \dot\phi - A_\rho \dot\phi^2)
 + \boldsymbol{\hat\phi} (\ddot A_\phi + A_\rho \ddot\phi + 2 \dot A_\rho \dot\phi - A_\phi \dot\phi^2)
 + \mathbf{\hat z} \ddot A_z</math>

Para entender essa expressão, substituímos A = P, onde p é o vetor (''ρ'', θ, ''z'' ).

Isso significa que <math>\mathbf{A} = \mathbf{P} = \rho \mathbf{\hat \rho} + z \mathbf{\hat z}</math> .

Depois de substituir, obtemos:

: <math>\ddot\mathbf{P} = \mathbf{\hat \rho} (\ddot \rho - \rho \dot\phi^2)
 + \boldsymbol{\hat\phi} (\rho \ddot\phi + 2 \dot \rho \dot\phi)
 + \mathbf{\hat z} \ddot z</math>

Em mecânica, os termos desta expressão são chamados:

: <math>\begin{align}
 \ddot \rho \mathbf{\hat \rho}     &= \mbox{aceleração central externa} \\
 -\rho \dot\phi^2 \mathbf{\hat \rho}  &= \mbox{aceleração centrípeta} \\
 \rho \ddot\phi \boldsymbol{\hat\phi}   &= \mbox{aceleração angular} \\
 2 \dot \rho \dot\phi \boldsymbol{\hat\phi} &= \mbox{Efeito Coriolis} \\
 \ddot z \mathbf{\hat z}        &= \mbox{aceleração em z}
 \end{align}</math>

== Sistema de coordenadas esféricas ==

=== Campos vetoriais ===
Os vetores são definidos em [[Sistema esférico de coordenadas|coordenadas esféricas]] por (''r'', θ, φ), onde

* r é o comprimento do vetor, 
* θ é o ângulo entre o eixo Z positivo e o vetor em questão (0 ≤ θ ≤ π), e 
* φ é o ângulo entre a projeção do vetor no plano XY e o eixo X positivo (0 ≤ φ <2π).

(''r'', θ, φ) é dado em [[Sistema de coordenadas cartesiano|coordenadas cartesianas]] por:

: <math>\begin{bmatrix}r \\ \theta \\ \phi \end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \\ \arccos(z / r) \\ \arctan(y / x)
\end{bmatrix},\ \ \ 0 \le \theta \le \pi,\ \ \ 0 \le \phi < 2\pi,
</math>

ou inversamente por:

: <math>\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} r\sen\theta\cos\phi \\ r\sen\theta\sen\phi \\ r\cos\theta\end{bmatrix}.</math>

Qualquer campo vetorial pode ser escrito em termos de vetores unitários como:

: <math>\mathbf A = A_x\mathbf{\hat x} + A_y\mathbf{\hat y} + A_z\mathbf{\hat z} 
         = A_r\boldsymbol{\hat r} + A_\theta\boldsymbol{\hat \theta} + A_\phi\boldsymbol{\hat \phi}</math>

Os vetores unitários esféricos são relacionados aos vetores unitários cartesianos por:

: <math>\begin{bmatrix}\boldsymbol{\hat{r}} \\ \boldsymbol{\hat\theta} \\ \boldsymbol{\hat\phi} \end{bmatrix}
 = \begin{bmatrix} \sen\theta\cos\phi & \sen\theta\sen\phi & \cos\theta \\
          \cos\theta\cos\phi & \cos\theta\sen\phi & -\sen\theta \\
          -\sen\phi     & \cos\phi      & 0 \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix} \mathbf{\hat x} \\ \mathbf{\hat y} \\ \mathbf{\hat z} \end{bmatrix}</math>

Nota: a matriz é uma [[matriz ortogonal]], ou seja, seu inverso é simplesmente sua [[Matriz transposta|transposta]] .

Assim, os vetores unitários cartesianos estão relacionados aos vetores unitários esféricos por:

: <math>\begin{bmatrix}\mathbf{\hat x} \\ \mathbf{\hat y} \\ \mathbf{\hat z} \end{bmatrix}
 = \begin{bmatrix} \sen\theta\cos\phi & \cos\theta\cos\phi & -\sen\phi \\
          \sen\theta\sen\phi & \cos\theta\sen\phi & \cos\phi \\
          \cos\theta     & -\sen\theta    & 0 \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix} \boldsymbol{\hat{r}} \\ \boldsymbol{\hat\theta} \\ \boldsymbol{\hat\phi} \end{bmatrix}</math>

=== Derivada no tempo de um campo vetorial ===
Para descobrir como o campo vetorial A muda no tempo, calculamos as derivadas no tempo. Em coordenadas cartesianas, isso é simplesmente:

: <math>\mathbf{\dot A} = \dot A_x \mathbf{\hat x} + \dot A_y \mathbf{\hat y} + \dot A_z \mathbf{\hat z}</math>

No entanto, em coordenadas esféricas, isso se torna:

: <math>\mathbf{\dot A} = \dot A_r \boldsymbol{\hat r} + A_r \boldsymbol{\dot{\hat r}}
 + \dot A_\theta \boldsymbol{\hat\theta} + A_\theta \boldsymbol{\dot{\hat\theta}}
 + \dot A_\phi \boldsymbol{\hat\phi} + A_\phi \boldsymbol{\dot{\hat\phi}}</math>

Precisamos das derivadas no tempo dos vetores unitários. Eles são dados por:

: <math>\begin{align}
 \boldsymbol{\dot{\hat r}} &= \dot\theta \boldsymbol{\hat\theta} + \dot\phi\sen\theta \boldsymbol{\hat\phi} \\
 \boldsymbol{\dot{\hat\theta}} &= - \dot\theta \boldsymbol{\hat r} + \dot\phi\cos\theta \boldsymbol{\hat\phi} \\
 \boldsymbol{\dot{\hat\phi}} &= - \dot\phi\sen\theta \boldsymbol{\hat{r}} - \dot\phi\cos\theta \boldsymbol{\hat\theta} \end{align}</math>

Portanto, a derivada no tempo torna-se:

: <math>\mathbf{\dot A} = \boldsymbol{\hat r} (\dot A_r - A_\theta \dot\theta - A_\phi \dot\phi \sen\theta)
 + \boldsymbol{\hat\theta} (\dot A_\theta + A_r \dot\theta - A_\phi \dot\phi \cos\theta)
 + \boldsymbol{\hat\phi} (\dot A_\phi + A_r \dot\phi \sen\theta + A_\theta \dot\phi \cos\theta)</math>

== Ver também ==

* [[Del em coordenadas cilíndricas e esféricas]] para a especificação de [[gradiente]], [[divergência]], [[Rotacional|curvatura]] e [[laplaciano]] em vários sistemas de coordenadas.

== Referências ==
<references />

[[Categoria:Sistemas de coordenadas]]
[[Categoria:Cálculo vetorial]]