Campos vetoriais em coordenadas cilíndricas e esféricas

Coordenadas esféricas ( r, θ, φ ) como comumente usadas em *física* : distância radial r, ângulo polar θ ( teta ) e ângulo azimutal φ ( phi ). O símbolo ρ ( rho ) é frequentemente usado em vez de r .

Nota: Esta página usa notação física comum para coordenadas esféricas, em que $θ$ é o ângulo entre o eixo z e o vetor do raio conectando a origem ao ponto em questão, enquanto $ϕ$ é o ângulo entre a projeção do vetor raio no plano xy e o eixo x . Várias outras definições estão em uso e, portanto, deve-se ter cuidado ao comparar diferentes fontes.^[1]

Sistema de coordenadas cilíndricas

Campos vetoriais

Os vetores são definidos em coordenadas cilíndricas por (ρ, φ, z), onde

ρ é o comprimento do vetor projetado no plano xy ,
φ é o ângulo entre a projeção do vetor no plano xy (ou seja, ρ ) e o eixo x positivo (0 ≤ φ <2π),
z é a coordenada z.

(ρ, φ, z) é dado em coordenadas cartesianas por:

[\begin{matrix} ρ \\ ϕ \\ z \end{matrix}] = [\begin{matrix} \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ \arctan (y / x) \\ z \end{matrix}], 0 \leq ϕ < 2 π,

ou inversamente por:

[\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = [\begin{matrix} ρ \cos ϕ \\ ρ sen ϕ \\ z \end{matrix}] .

Qualquer campo vetorial pode ser escrito em termos de vetores unitários como:

𝐀 = A_{x} \hat{𝐱} + A_{y} \hat{𝐲} + A_{z} \hat{𝐳} = A_{ρ} \hat{𝝆} + A_{ϕ} \hat{𝝓} + A_{z} \hat{𝐳}

Os vetores unitários cilíndricos estão relacionados aos vetores unitários cartesianos por:

[\begin{matrix} \hat{𝝆} \\ \hat{𝝓} \\ \hat{𝐳} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \cos ϕ & sen ϕ & 0 \\ - sen ϕ & \cos ϕ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} \hat{𝐱} \\ \hat{𝐲} \\ \hat{𝐳} \end{matrix}]

Nota: a matriz é uma matriz ortogonal, ou seja, seu inverso é simplesmente sua transposta .

Derivada do tempo de um campo vetorial

Para descobrir como o campo vetorial A muda no tempo, calculamos as derivadas do tempo. Para este efeito, usamos a notação de Newton para a derivada de tempo ( $\dot{𝐀}$ ) Em coordenadas cartesianas, isso é simplesmente:

\dot{𝐀} = {\dot{A}}_{x} \hat{𝐱} + {\dot{A}}_{y} \hat{𝐲} + {\dot{A}}_{z} \hat{𝐳}

No entanto, em coordenadas cilíndricas, isso se torna:

\dot{𝐀} = {\dot{A}}_{ρ} \hat{𝝆} + A_{ρ} \dot{\hat{𝝆}} + {\dot{A}}_{ϕ} \hat{𝝓} + A_{ϕ} \dot{\hat{𝝓}} + {\dot{A}}_{z} \hat{𝒛} + A_{z} \dot{\hat{𝒛}}

Precisamos das derivadas no tempo dos vetores unitários. Eles são dados por:

\begin{matrix} \dot{\hat{𝝆}} & = \dot{ϕ} \hat{𝝓} \\ \dot{\hat{𝝓}} & = - \dot{ϕ} \hat{𝝆} \\ \dot{\hat{𝐳}} & = 0 \end{matrix}

Portanto, a derivada no tempo simplifica para:

\dot{𝐀} = \hat{𝝆} ({\dot{A}}_{ρ} - A_{ϕ} \dot{ϕ}) + \hat{𝝓} ({\dot{A}}_{ϕ} + A_{ρ} \dot{ϕ}) + \hat{𝐳} {\dot{A}}_{z}

Segunda derivada no tempo de um campo vetorial

A derivada do segundo tempo é de interesse da física, pois é encontrada em equações de movimento para sistemas mecânicos clássicos . A segunda derivada de um campo vetorial em coordenadas cilíndricas é dada por:

\ddot{𝐀} = \hat{𝝆} ({\ddot{A}}_{ρ} - A_{ϕ} \ddot{ϕ} - 2 {\dot{A}}_{ϕ} \dot{ϕ} - A_{ρ} {\dot{ϕ}}^{2}) + \hat{𝝓} ({\ddot{A}}_{ϕ} + A_{ρ} \ddot{ϕ} + 2 {\dot{A}}_{ρ} \dot{ϕ} - A_{ϕ} {\dot{ϕ}}^{2}) + \hat{𝐳} {\ddot{A}}_{z}

Para entender essa expressão, substituímos A = P, onde p é o vetor (ρ, θ, z ).

Isso significa que $𝐀 = 𝐏 = ρ \hat{𝝆} + z \hat{𝐳}$ .

Depois de substituir, obtemos:

\ddot{𝐏} = \hat{𝝆} (\ddot{ρ} - ρ {\dot{ϕ}}^{2}) + \hat{𝝓} (ρ \ddot{ϕ} + 2 \dot{ρ} \dot{ϕ}) + \hat{𝐳} \ddot{z}

Em mecânica, os termos desta expressão são chamados:

\begin{matrix} \ddot{ρ} \hat{𝝆} & = aceleração central externa \\ - ρ {\dot{ϕ}}^{2} \hat{𝝆} & = aceleração centrípeta \\ ρ \ddot{ϕ} \hat{𝝓} & = aceleração angular \\ 2 \dot{ρ} \dot{ϕ} \hat{𝝓} & = Efeito Coriolis \\ \ddot{z} \hat{𝐳} & = aceleração em z \end{matrix}

Sistema de coordenadas esféricas