Campos vetoriais em coordenadas cilíndricas e esféricas

Coordenadas esféricas ( r, θ, φ ) como comumente usadas em física : distância radial r, ângulo polar θ ( teta ) e ângulo azimutal φ ( phi ). O símbolo ρ ( rho ) é frequentemente usado em vez de r .

Nota: Esta página usa notação física comum para coordenadas esféricas, em que $\theta$ é o ângulo entre o eixo z e o vetor do raio conectando a origem ao ponto em questão, enquanto $\varphi$ é o ângulo entre a projeção do vetor raio no plano xy e o eixo x . Várias outras definições estão em uso e, portanto, deve-se ter cuidado ao comparar diferentes fontes.

Sistema de coordenadas cilíndricas

Campos vetoriais

Os vetores são definidos em coordenadas cilíndricas por (ρ, φ, z), onde

• ρ é o comprimento do vetor projetado no plano xy ,
• φ é o ângulo entre a projeção do vetor no plano xy (ou seja, ρ ) e o eixo x positivo (0 ≤ φ <2π),
• z é a coordenada z.

(ρ, φ, z) é dado em coordenadas cartesianas por:

$\left[\begin{array}{c}\rho \\ \varphi \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\sqrt{x^2+y^2}\\ \arctan (y/x)\\ z\end{array}\right],0\le \varphi <2\pi ,$

ou inversamente por:

$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\rho \cos \varphi \\ \rho \mathrm{sen}\varphi \\ z\end{array}\right].$

Qualquer campo vetorial pode ser escrito em termos de vetores unitários como:

$𝐀=A_x\widehat{𝐱}+A_y\widehat{𝐲}+A_z\widehat{𝐳}=A_{\rho }\hat{\mathit{\rho }}+A_{\varphi }\hat{\mathit{\varphi }}+A_z\widehat{𝐳}$

Os vetores unitários cilíndricos estão relacionados aos vetores unitários cartesianos por:

$\left[\begin{array}{c}\hat{\mathit{\rho }}\\ \hat{\mathit{\varphi }}\\ \widehat{𝐳}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\cos \varphi & \mathrm{sen}\varphi & 0\\ -\mathrm{sen}\varphi & \cos \varphi & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\widehat{𝐱}\\ \widehat{𝐲}\\ \widehat{𝐳}\end{array}\right]$

Nota: a matriz é uma matriz ortogonal, ou seja, seu inverso é simplesmente sua transposta .

Derivada do tempo de um campo vetorial

Para descobrir como o campo vetorial A muda no tempo, calculamos as derivadas do tempo. Para este efeito, usamos a notação de Newton para a derivada de tempo ( $\dot{𝐀}$ ) Em coordenadas cartesianas, isso é simplesmente:

$\dot{𝐀}={\dot{A}}_x\widehat{𝐱}+{\dot{A}}_y\widehat{𝐲}+{\dot{A}}_z\widehat{𝐳}$

No entanto, em coordenadas cilíndricas, isso se torna:

$\dot{𝐀}={\dot{A}}_{\rho }\hat{\mathit{\rho }}+A_{\rho }\dot{\hat{\mathit{\rho }}}+{\dot{A}}_{\varphi }\hat{\mathit{\varphi }}+A_{\varphi }\dot{\hat{\mathit{\varphi }}}+{\dot{A}}_z\widehat{𝒛}+A_z\dot{\widehat{𝒛}}$

Precisamos das derivadas no tempo dos vetores unitários. Eles são dados por:

$\begin{array}{cc}\dot{\hat{\mathit{\rho }}}& =\dot{\varphi }\hat{\mathit{\varphi }}\\ \dot{\hat{\mathit{\varphi }}}& =-\dot{\varphi }\hat{\mathit{\rho }}\\ \dot{\widehat{𝐳}}& =0\end{array}$

Portanto, a derivada no tempo simplifica para:

$\dot{𝐀}=\hat{\mathit{\rho }}({\dot{A}}_{\rho }-A_{\varphi }\dot{\varphi })+\hat{\mathit{\varphi }}({\dot{A}}_{\varphi }+A_{\rho }\dot{\varphi })+\widehat{𝐳}{\dot{A}}_z$

Segunda derivada no tempo de um campo vetorial

A derivada do segundo tempo é de interesse da física, pois é encontrada em equações de movimento para sistemas mecânicos clássicos . A segunda derivada de um campo vetorial em coordenadas cilíndricas é dada por:

$\ddot{𝐀}=\hat{\mathit{\rho }}({\ddot{A}}_{\rho }-A_{\varphi }\ddot{\varphi }-2{\dot{A}}_{\varphi }\dot{\varphi }-A_{\rho }{\dot{\varphi }}^2)+\hat{\mathit{\varphi }}({\ddot{A}}_{\varphi }+A_{\rho }\ddot{\varphi }+2{\dot{A}}_{\rho }\dot{\varphi }-A_{\varphi }{\dot{\varphi }}^2)+\widehat{𝐳}{\ddot{A}}_z$

Para entender essa expressão, substituímos A = P, onde p é o vetor (ρ, θ, z ).

Isso significa que $𝐀=𝐏=\rho \hat{\mathit{\rho }}+z\widehat{𝐳}$ .

Depois de substituir, obtemos:

$\ddot{𝐏}=\hat{\mathit{\rho }}(\ddot{\rho }-\rho {\dot{\varphi }}^2)+\hat{\mathit{\varphi }}(\rho \ddot{\varphi }+2\dot{\rho }\dot{\varphi })+\widehat{𝐳}\ddot{z}$

Em mecânica, os termos desta expressão são chamados:

$\begin{array}{cc}\ddot{\rho }\hat{\mathit{\rho }}& =\text{aceleração central externa}\\ -\rho {\dot{\varphi }}^2\hat{\mathit{\rho }}& =\text{aceleração centrípeta}\\ \rho \ddot{\varphi }\hat{\mathit{\varphi }}& =\text{aceleração angular}\\ 2\dot{\rho }\dot{\varphi }\hat{\mathit{\varphi }}& =\text{Efeito Coriolis}\\ \ddot{z}\widehat{𝐳}& =\text{aceleração em z}\end{array}$

Sistema de coordenadas esféricas

Campos vetoriais

Os vetores são definidos em coordenadas esféricas por (r, θ, φ), onde

• r é o comprimento do vetor,
• θ é o ângulo entre o eixo Z positivo e o vetor em questão (0 ≤ θ ≤ π), e
• φ é o ângulo entre a projeção do vetor no plano XY e o eixo X positivo (0 ≤ φ <2π).

(r, θ, φ) é dado em coordenadas cartesianas por:

$\left[\begin{array}{c}r\\ \theta \\ \varphi \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\ \arccos (z/r)\\ \arctan (y/x)\end{array}\right],0\le \theta \le \pi ,0\le \varphi <2\pi ,$

ou inversamente por:

$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}r\mathrm{sen}\theta \cos \varphi \\ r\mathrm{sen}\theta \mathrm{sen}\varphi \\ r\cos \theta \end{array}\right].$

Qualquer campo vetorial pode ser escrito em termos de vetores unitários como:

$𝐀=A_x\widehat{𝐱}+A_y\widehat{𝐲}+A_z\widehat{𝐳}=A_r\widehat{𝒓}+A_{\theta }\hat{\mathit{\theta }}+A_{\varphi }\hat{\mathit{\varphi }}$

Os vetores unitários esféricos são relacionados aos vetores unitários cartesianos por:

$\left[\begin{array}{c}\widehat{𝒓}\\ \hat{\mathit{\theta }}\\ \hat{\mathit{\varphi }}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{sen}\theta \cos \varphi & \mathrm{sen}\theta \mathrm{sen}\varphi & \cos \theta \\ \cos \theta \cos \varphi & \cos \theta \mathrm{sen}\varphi & -\mathrm{sen}\theta \\ -\mathrm{sen}\varphi & \cos \varphi & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\widehat{𝐱}\\ \widehat{𝐲}\\ \widehat{𝐳}\end{array}\right]$

Nota: a matriz é uma matriz ortogonal, ou seja, seu inverso é simplesmente sua transposta .

Assim, os vetores unitários cartesianos estão relacionados aos vetores unitários esféricos por:

$\left[\begin{array}{c}\widehat{𝐱}\\ \widehat{𝐲}\\ \widehat{𝐳}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{sen}\theta \cos \varphi & \cos \theta \cos \varphi & -\mathrm{sen}\varphi \\ \mathrm{sen}\theta \mathrm{sen}\varphi & \cos \theta \mathrm{sen}\varphi & \cos \varphi \\ \cos \theta & -\mathrm{sen}\theta & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\widehat{𝒓}\\ \hat{\mathit{\theta }}\\ \hat{\mathit{\varphi }}\end{array}\right]$

Derivada no tempo de um campo vetorial

Para descobrir como o campo vetorial A muda no tempo, calculamos as derivadas no tempo. Em coordenadas cartesianas, isso é simplesmente:

$\dot{𝐀}={\dot{A}}_x\widehat{𝐱}+{\dot{A}}_y\widehat{𝐲}+{\dot{A}}_z\widehat{𝐳}$

No entanto, em coordenadas esféricas, isso se torna:

$\dot{𝐀}={\dot{A}}_r\widehat{𝒓}+A_r\dot{\widehat{𝒓}}+{\dot{A}}_{\theta }\hat{\mathit{\theta }}+A_{\theta }\dot{\hat{\mathit{\theta }}}+{\dot{A}}_{\varphi }\hat{\mathit{\varphi }}+A_{\varphi }\dot{\hat{\mathit{\varphi }}}$

Precisamos das derivadas no tempo dos vetores unitários. Eles são dados por:

$\begin{array}{cc}\dot{\widehat{𝒓}}& =\dot{\theta }\hat{\mathit{\theta }}+\dot{\varphi }\mathrm{sen}\theta \hat{\mathit{\varphi }}\\ \dot{\hat{\mathit{\theta }}}& =-\dot{\theta }\widehat{𝒓}+\dot{\varphi }\cos \theta \hat{\mathit{\varphi }}\\ \dot{\hat{\mathit{\varphi }}}& =-\dot{\varphi }\mathrm{sen}\theta \widehat{𝒓}-\dot{\varphi }\cos \theta \hat{\mathit{\theta }}\end{array}$

Portanto, a derivada no tempo torna-se:

$\dot{𝐀}=\widehat{𝒓}({\dot{A}}_r-A_{\theta }\dot{\theta }-A_{\varphi }\dot{\varphi }\mathrm{sen}\theta )+\hat{\mathit{\theta }}({\dot{A}}_{\theta }+A_r\dot{\theta }-A_{\varphi }\dot{\varphi }\cos \theta )+\hat{\mathit{\varphi }}({\dot{A}}_{\varphi }+A_r\dot{\varphi }\mathrm{sen}\theta +A_{\theta }\dot{\varphi }\cos \theta )$

Ver também

• Del em coordenadas cilíndricas e esféricas para a especificação de gradiente, divergência, curvatura e laplaciano em vários sistemas de coordenadas.