Teorema de Herão

Predefinição:Sem fontes A fórmula tradicional de cálculo da área do triângulo, ensinada e muito utilizada no ensino fundamental é $A=\left(\frac{\text{base}\cdot \text{altura}}{2}\right).$ Entretanto, outras fórmulas foram desenvolvidas para realizar este cálculo. Uma delas é a fórmula de Herão (ou de Heron), que dá a área do triângulo em função da medida dos três lados do triângulo. O nome faz referência ao matemático grego Herão de Alexandria.

A fórmula

A fórmula é: $A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$ em que $p$ representa o semiperímetro do triângulo e $a,$ $b,$ $c$ são os comprimentos dos 3 lados do triângulo.

Exemplo

Um triângulo cujos lados medem 3, 25 e 26, respectivamente, tem semiperímetro (3 + 25 + 26)/2 = 27. Assim, a sua área é $A=\sqrt{27\cdot 24\cdot 2\cdot 1}=36.$

Demonstração

Seja $b$ a base do triângulo e $h$ a sua altura. A área do triângulo é $A=\frac{bh}{2}.$

Pela Lei dos cossenos, $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=a^2+b^2-2b\sqrt{a^2-h^2},$ logo $h^2=a^2-{\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2b}\right)}^2.$ Assim,

$\begin{array}{ccc}{A}^2& =& \frac{b^2{h}^2}{4}=\frac{b^2(a^2-{\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2b}\right)}^2)}{4}=\frac{(2ab{)}^2-(a^2+b^2-c^2{)}^2}{16}=\frac{(2ab-(a^2+b^2-c^2))(2ab+(a^2+b^2-c^2))}{16}=\\ \\ & =& \frac{(c^2-(a-b{)}^2)((a+b{)}^2-c^2)}{16}=\frac{(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)}{16}=(s-a)(s-b)(s-c)s\end{array}$