Desigualdade de Cauchy-Schwarz

Predefinição:Mais notas Em álgebra linear e geometria analítica, a desigualdade de Cauchy-Schwarz, também conhecida como a desigualdade de Schwarz, a desigualdade de Cauchy, ou a desigualdade de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz, é uma desigualdade muito útil que aparece em vários contextos diferentes, tais como em análise, aplicando-se a séries infinitas e integração de produtos, e na teoria de probabilidades aplicando-se as variâncias e covariâncias.

A desigualdade garante que, dado um espaço vetorial $V$ com produto interno $⟨\cdot ,\cdot ⟩:V\times V\to ℝ$, então para quaisquer dois vetores $u,v\in V$ se tem

$$⟨u,v{⟩}^2\le ⟨u,u⟩\cdot ⟨v,v⟩$$

com igualdade se, e só se, u e v forem linearmente dependentes.

Essa desigualdade para somas foi publicada por Augustin Cauchy (1821), enquanto a correspondente desigualdade para integrais foi primeiro estabelecida por Viktor Yakovlevich Bunyakovsky (1859) e redescoberta por Hermann Amandus Schwarz (1888) (às vezes chamado erroneamente de "Schwartz").

Exemplo

Se x e y são vectores com n coordenadas a desigualdade toma a forma

$$(a_1{b}_1+\cdots +a_n{b}_n{)}^2\le (a_1^2+\cdots +a_n^2)(b_1^2+\cdots +b_n^2).$$

Em análise esta desigualdade pode ser aplicada a séries infinitas.

Demonstração (Caso complexo)

Como a desigualdade é trivialmente verdadeira no caso y = 0, podemos assumir que $⟨y,y⟩$ é diferente de zero.

Seja $\lambda$ um número complexo. Então, $$0\le {\Vert x-\lambda y\Vert }^2=⟨x-\lambda y,x-\lambda y⟩=⟨x,x⟩-\overline{\lambda }⟨x,y⟩-\lambda ⟨y,x⟩+|\lambda {|}^2⟨y,y⟩.$$

Escolhendo $$\lambda =⟨x,y⟩\cdot ⟨y,y{⟩}^{-1}$$ temos que

$$0\le ⟨x,x⟩-|⟨x,y⟩{|}^2\cdot ⟨y,y{⟩}^{-1}$$

o que é verdadeiro, se e somente se

$$|⟨x,y⟩{|}^2\le ⟨x,x⟩\cdot ⟨y,y⟩$$

ou de modo equivalente:

$$|⟨x,y⟩|\le \Vert x\Vert \Vert y\Vert .$$ Q.E.D.

Demonstração 2 (Caso real)

Se $y$ for o vector nulo, o resultado é imediatamente verdadeiro. Suponhamos, agora, que $y\ne 0.$

Para um número real $t,$ arbitrário, tem-se, pelas propriedades do produto interno:

$$⟨x-ty,x-ty⟩\ge 0$$

Desenvolvendo esta desigualdade:

$$⟨x-ty,x-ty⟩\ge 0\iff {(x-ty)}^T(x-ty)\ge 0$$ $$\iff {(x-ty)}^T(x-ty)\ge 0\iff (x^T-t{y}^T)(x-ty)\ge 0$$ $$\iff x^{T}x-t{x}^{T}y-t{y}^{T}x+t^2{y}^{T}y\ge 0\iff x^{T}x-2t{x}^{T}y+t^2{y}^{T}y\ge 0$$ $$\iff x^{T}x-2t{x}^{T}y+t^2{y}^{T}y\ge 0$$

O membro do lado esquerdo desta equação é um polinómio do segundo grau em $t,$ com a concavidade voltada para cima, pois o termo em $t^2$ é a norma de um vector. Assim sendo, só será não-negativo (condição necessária para manter a desigualdade) se não tiver zeros, o que só acontece se o seu binómio discriminante for menor ou igual que zero. Simbolicamente:

$$\iff x^{T}x-2t{x}^{T}y+t^2{y}^{T}y\ge 0\iff {(-2x^{T}y)}^2-4y^{T}y{x}^{T}x\le 0$$ $$\iff 4({\left(x^{T}y\right)}^2-y^{T}y{x}^{T}x)\le 0\iff {\left(x^{T}y\right)}^2-y^{T}y{x}^{T}x\le 0$$

Sabendo que $x^{T}x=⟨x,x⟩=\Vert x{\Vert }^2,$

$$\iff ⟨x,y{⟩}^2-\Vert x{\Vert }^2\Vert y{\Vert }^2\le 0\iff ⟨x,y{⟩}^2\le \Vert x{\Vert }^2\Vert y{\Vert }^2$$

$$\iff ⟨x,y⟩\le \Vert x\Vert \Vert y\Vert .$$ Q.E.D.

Para a última parte do teorema, basta observar que apenas haverá igualdade se a função em $t$ tiver uma única raiz real, o que só acontece se $⟨x-ty,x-ty⟩=0$ e implica que $x=ty,$ que é o mesmo que dizer que os vectores são linearmente dependentes.

Ver também

• Desigualdade triangular