Mediana (geometria)

As medianas de um triângulo e o baricentro

Em geometria, a mediana de um triângulo é o segmento de reta que liga um vértice deste triângulo ao ponto médio do lado oposto a este vértice. As três medianas de um triângulo são concorrentes e se encontram no centro de massa, ou baricentro do triângulo.

Relação com o centro de massa

Cada mediano de um triângulo passa pelo centróide (baricentro) do triângulo, que é o centro de massa de um objeto infinitamente fino de densidade uniforme que coincide com o triângulo. Assim, o objeto seria equilibrado no ponto de interseção das medianas.

O centróide divide a mediana de forma que a parte que toca o vértice é igual a duas vezes a parte que toca o lado oposto a ele.

O tamanho de uma mediana

Usando o teorema de Stewart temos:

$m=\sqrt{\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}}$

onde a é o lado do triângulo que a mediana intercepta,b e c são os outros lados e m é o tamanho da mediana, não esquecendo que a mediana é diferente de bissetriz e diagonal

mediana m_a

1.-

AA' = mediana = m_a

<BA'A = $\varphi$

$c^2=\frac{a^2}{4}+m_a^2-a{m}_a\cos \varphi$

$b^2=\frac{a^2}{4}+m_a^2+a{m}_a\cos \varphi$

2.-

$m_a=\frac{1}{2}\sqrt{b^2+c^2+2bc\cos \varphi }$

Propriedades da mediana

• Em um triângulo qualquer, uma mediana divide este triângulo em duas regiões de áreas iguais.
• Partindo uma mediana do vértice A de um triângulo ABC, sendo G a interseção entre todas as medianas e I a intersecção entre a mediana e o lado BC temos:

$\frac{AG}{GI}=2$

• Em um triângulo retângulo, a mediana que parte do ângulo reto divide a hipotenusa em dois segmentos do mesmo tamanho da mediana.
• Pelo teorema da mediana, sendo A, B e C os vértices do triângulo ABC e AI a mediana referente ao vértice A temos:

$A{B}^2+A{C}^2=2B{I}^2+2A{I}^2$