Teorema do trabalho-energia

Predefinição:Mais notas O teorema do trabalho-energia é um teorema da mecânica clássica, segundo o qual o trabalho $W$ realizado sobre um corpo de massa $m$ por uma força $F$ é igual à variação da energia cinética desse corpo:

$W=\mathrm{\Delta }K$

Nessa expressão, $\mathrm{\Delta }K$ é a diferença entre a energia cinética final, $K_f$, e a energia cinética inicial, $K_i$, do corpo:

$\mathrm{\Delta }K=K_f-K_i$.

Portanto:

$W=K_f-K_i$

Caso particular: força constante

Predefinição:Sem-fontes Para demonstrá-lo, partimos das definições de velocidade e aceleração e usamos a segunda lei de Newton para, por fim, usar as definições de trabalho e energia cinética.

A demonstração assume que o corpo está em movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV), ou seja, que sua aceleração linear é constante. Do ponto de vista da dinâmica, isto equivale a dizer que a força que realiza trabalho sobre o corpo também é constante. Para facilitar a demonstração, vamos representar as grandezas vetoriais deslocamento, velocidade, aceleração e força na suas formas escalares. Isto é possível com uma escolha adequada de um referencial inercial, por exemplo: se alinharmos o eixo-x do referencial à direção do movimento do corpo. A demonstração também assume que o corpo se comporta como uma partícula e, por conveniência, vamos assumir que o instante inicial do movimento, $t_i$, é zero, $t_i=0$, e que o instante final, é $t_f=t$.

• Definição de velocidade linear, $v$:

$v\equiv \frac{dx}{dt}$

onde, $x=x(t)$ é a posição do corpo em função do tempo, $t$.

• Partindo da definição de aceleração linear, $a$,

$a\equiv \frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$,

temos que

$dv=adt$,

com $a=constante$. Integrando ambos os lados da equação:

$\int dv=\int adt$

$v_f-v_i=a(t-0)$

$v_f-v_i=at$

Esta é uma das equações cinemáticas do MRUV. Isolando o tempo:

$t=\frac{v_f-v_i}{a}$

• Uma segunda equação cinemática é obtida resolvendo a equação diferencial,

$a=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$ :

$x_f=x_i+v_{i}t+\frac{1}{2}a{t}^2$

Aplicando o discriminante da equação quadrática para resolver a equação de segundo grau acima, temos:

$t=\frac{-v_i\pm \sqrt{v_i^2-4\frac{1}{2}a(x_i-x_f)}}{2\frac{1}{2}a}$

$t=\frac{-v_i\pm \sqrt{v_i^2-2a(x_i-x_f)}}{a}$

• Igualando a equação acima com aquela obtida no passo anterior,

$\frac{v_f-v_i}{a}=\frac{-v_i\pm \sqrt{v_i^2-2a(x_i-x_f)}}{a}$

$v_f-v_i=-v_i\pm \sqrt{v_i^2+2a(x_f-x_i)}$

$v_f=\pm \sqrt{v_i^2+2a(x_f-x_i)}$

Elevando ambos os lados da equação acima ao quadrado:

$v_f^2=v_i^2+2a(x_f-x_i)$

$v_f^2-v_i^2=2a(x_f-x_i)$

$\frac{v_f^2-v_i^2}{2}=a(x_f-x_i)$

• Escrevendo o deslocamento $x_f-x_i$ como $\mathrm{\Delta }x=(x_f-x_i)$

$\frac{v_f^2-v_i^2}{2}=a\mathrm{\Delta }x$

• Introduzindo conceitos da dinâmica.

Até aqui, utilizamos apenas conceitos cinemáticos, como deslocamento, velocidade, aceleração e tempo. A partir deste passo, vamos introduzir conceitos da dinâmica: massa, força, trabalho e energia cinética. Multiplicando todos os termos da equação acima pela massa, $m$, do corpo:

$\frac{1}{2}m{v}_f^2-\frac{1}{2}m{v}_i^2=ma\mathrm{\Delta }x$

• Pela segunda lei de Newton, $F=ma$, donde

$\frac{1}{2}m{v}_f^2-\frac{1}{2}m{v}_i^2=F\mathrm{\Delta }x$

• Mas, $F\mathrm{\Delta }x$ é o trabalho mecânico, $W$,

realizado pela força constante, $F$, sobre a massa $m$ para deslocá-la por $\mathrm{\Delta }x$:

$W=F\mathrm{\Delta }x$

logo,

$\frac{1}{2}m{v}_f^2-\frac{1}{2}m{v}_i^2=W$

• Neste ponto, introduzimos a definição de energia cinética,

$K$, como sendo a metade do produto da massa pela velocidade quadrática de uma partícula,

$K\equiv \frac{1}{2}m{v}^2$

temos que

$K_f-K_i=W$

Fazendo $\mathrm{\Delta }K\equiv K_f-K_i$, temos finalmente

$W=\mathrm{\Delta }K$

conforme enunciado pelo teorema trabalho-energia.

Caso geral: força variável

Predefinição:Sem-fontes Agora vamos considerar o caso mais geral, em que a força $F$ que atua sobre o corpo não é constante, podendo variar sua direção, sentido e intensidade ao longo do tempo, $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F}(t)$. Neste caso, partimos da definição de trabalho,

$W\equiv \int \overrightarrow{F}d\overrightarrow{r}$

onde, $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}(t)$ é o vetor deslocamento. Aplicando a segunda lei de Newton:

$W=\int m\overrightarrow{a}d\overrightarrow{r}$

e a definição de aceleração, $\overrightarrow{a}$,

$W=\int m\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}d\overrightarrow{r}=\int m\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}d\overrightarrow{v}$

$W=\int m\overrightarrow{v}d\overrightarrow{v}$

cuja solução é

$W=\frac{1}{2}m{v}_f^2-\frac{1}{2}m{v}_i^2$

Introduzindo a definição de energia cinética,

$K\equiv \frac{1}{2}m{v}^2$

$W=\mathrm{\Delta }K$

conforme o teorema.