Forma canônica de Jordan

A Predefinição:PBPE é uma forma de representar uma matriz ou operador linear através de uma outra matriz semelhante à original que é quase uma matriz diagonal. No corpo dos números complexos, esta forma é uma matriz triangular superior, em que os únicos elementos não-nulos são aqueles da diagonal ou imediatamente acima da diagonal.

O nome é uma referência a Camille Jordan.

Definições

Seja T um operador linear de um K-espaço vetorial V de dimensão finita, sendo K o corpo $ℝ$ ou $ℂ$.

Caso Real

Se $K=ℝ$, escrevamos o polinômio característico de T na forma

$p_T(x)=(x-{\lambda }_1{)}^{m_1}\cdots (x-{\lambda }_n{)}^{m_n}$,

com ${\lambda }_r\ne {\lambda }_s$ se $r\ne s$.

Chama-se de um bloco de Jordan de ordem r à matriz quadrada de ordem r $J(\lambda ;r)$ dada por

$J(\lambda ;r)={\left[\begin{array}{ccccc}\lambda & 1& 0& \cdots & 0\\ 0& \lambda & 1& \cdots & 0\\ 0& 0& \lambda & \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & \lambda \end{array}\right]}_{r\times r}$,

que pode ser escrita através da soma de duas matrizes:

$J(\lambda ;r)=\lambda {\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]}_{r\times r}+{\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0\\ 0& 0& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right]}_{r\times r}=\lambda I+N,$

onde N é uma matriz nilpotente, pois $N^r=0$.

Se $B_1,\dots ,B_k$ são matrizes quadradas, não necessariamente de ordens iguais, define-se $\mathrm{diag}(B_1,\dots ,B_k)$ como sendo a matriz quadrada de ordem igual à soma das ordens de $B_1,\dots ,B_k$ dada por

$\left[\begin{array}{cccc}{B}_1& 0& \cdots & 0\\ 0& B_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & B_k\end{array}\right]$.

Caso Complexo

Se $K=ℂ$, escrevamos o polinômio característico de T na forma

$p_T(x)=(x-{\lambda }_1{)}^{m_1}\cdots (x-{\lambda }_n{)}^{m_n}((x-{\alpha }_1{)}^2+{\beta }_1^2){)}^{p_1}\cdots ((x-{\alpha }_k{)}^2+{\beta }_k^2){)}^{p_k}$,

onde ${\alpha }_r+i{\beta }_r$ é uma raiz complexa de p_T, com ${\lambda }_r\ne {\lambda }_s$ e $({\alpha }_r,|{\beta }_r|)\ne ({\alpha }_s,|{\beta }_s|)$ se $r\ne s$.

Se $\alpha +i\beta$ é uma raiz complexa de $p_T(\lambda )$, define-se, analogamente à matriz $J(\lambda ;r)$,

$R(\alpha ,\beta ;r)={\left[\begin{array}{ccccc}A& \overline{1}& 0& \cdots & 0\\ 0& A& \overline{1}& \cdots & 0\\ 0& 0& A& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & A\end{array}\right]}_{n\times n}$,

onde

$A=\left[\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ -\beta & \alpha \end{array}\right]$ e $\overline{1}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

Teorema (de Jordan)

Sejam V um K-espaço vetorial de dimensão finita e T um operador linear de V. Se $K=ℂ$ e

$p_T(x)=(x-{\lambda }_1{)}^{m_1}\cdots (x-{\lambda }_n{)}^{m_n}$,

com ${\lambda }_r\ne {\lambda }_s$ se $r\ne s$, ${\lambda }_r\in ℂ$, então existe uma base na qual a matriz de T é da forma

$J=\mathrm{diag}(J_1,\dots ,J_n)$,

onde $J_1,\dots ,J_p$ são da forma $J(\lambda ;r),r\in \mathbb{N}$ e $\lambda \in \{{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\}$.

Se $K=ℝ$ e

$p_T(x)=(x-{\lambda }_1{)}^{m_1}\cdots (x-{\lambda }_n{)}^{m_n}((x-{\alpha }_1{)}^2+{\beta }_1^2{)}^{p_1}\cdots ((x-{\alpha }_k{)}^2+{\beta }_k^2{)}^{p_k}$,

onde ${\alpha }_r+i{\beta }_r$ é uma raiz complexa de p_T com ${\lambda }_r\ne {\lambda }_s$ e $({\alpha }_r,{\beta }_r)\ne ({\alpha }_s,{\beta }_s)$ se $r\ne s$ (${\beta }_r>0$), então existe uma base com relação à qual a matriz de T é da forma

$J=\mathrm{diag}(J_1,\dots ,J_n,R_1,\dots ,R_k),$

onde $J_1,\dots ,J_p$ são da forma $J(\lambda ;r),r\in \mathbb{N}$ e $\lambda \in \{{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\}$ e $R_1,\dots ,R_q$ são da forma $R(\alpha ,\beta ;n),n\in \mathbb{N}$ e $(\alpha ,\beta )\in \{({\alpha }_1,{\beta }_1),\dots ,({\alpha }_k,{\beta }_k)\}$.

Corolário

A matriz de um operador T com relação a uma base qualquer é semelhante a uma matriz da forma $J=\mathrm{diag}(J_1,\dots ,J_p)$ (caso complexo) ou $J=\mathrm{diag}(J_1,\dots ,J_p,R_1,\dots ,R_q)$ (caso real).

Observações

Blocos de Jordan com a mesma raiz

O teorema afirma, no caso complexo, que a matriz equivalente é da forma:

$\left[\begin{array}{cccc}J({\lambda }_1;m_1)& 0& \cdots & 0\\ 0& J({\lambda }_2;m_2)& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & J({\lambda }_n;m_n)\end{array}\right]$,

mas é possivel que ${\lambda }_s={\lambda }_r$ quando $s\ne r$

Por exemplo, a matriz 4x4 abaixo está na forma canônica de Jordan:

$\left[\begin{array}{cccc}42& 1& 0& 0\\ 0& 42& 0& 0\\ 0& 0& 42& 0\\ 0& 0& 0& 42\end{array}\right]$,

em que ${\lambda }_1={\lambda }_2={\lambda }_3={\lambda }_4=42$, $m_1=2$ e $m_2=m_3=1$.

Unicidade

A forma canônica de Jordan é única, a menos de permutações entre os blocos de Jordan.

Bibliografia

• Predefinição:En Daniel T. Finkbeiner II, Introduction to Matrices and Linear Transformations, Third Edition, Freeman, 1978.
• Predefinição:En Gene H. Golub and Charles F. Van Loan, Matrix Computations (3rd ed.), Johns Hopkins University Press, Baltimore, 1996.
• Predefinição:En Shafarevich, Igor R., Remizov, Alexey O. Linear Algebra and Geometry, Springer, 2012, ISBN 978-3-642-30993-9

Predefinição:Classes de matriz