Nilpotente

Predefinição:Sem fontes Em matemática, um elemento x de um anel é nilpotente quando existe algum número natural n tal que $x^n=0$.

Definição

Um inteiro positivo $n=p_1^{a_1}\cdots p_m^{a_m}$, $p_i$ distinto, tem fatorização nilpotente se, e somente se, $p_i^k\equiv ̸1(mod{p}_j)$ para todos os inteiros i, j e k com $1\le k\le a_i$. Um inteiro positivo n é um número nilpotente se, e somente se, possui fatorização nilpotente.

Exemplo

• A matriz

$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

é nilpotente porque A³ = 0.

• No anel ${\mathbb{Z}}_9$ a classe de equivalência de 3 é nilpotente, pois $3^2\equiv 0(mod9)$