Teorema de Steiner

O teorema de Steiner ou teorema dos eixos paralelos é um teorema que permite calcular o momento de inércia de um sólido rígido relativo a um eixo de rotação que passa por um ponto O, quando são conhecidos o momento de inércia relativo a um eixo paralelo ao anterior e que passa pelo centro de massa do sólido e a distância entre os eixos.

Considerando-se:

I_CM denota o momento de inércia do objeto sobre o centro de massa,

M a massa do objeto e d a distância perpendicular entre os dois eixos.

Então o momento de inércia sobre o novo eixo z é dado por:

$I_z=I_{cm}+M{d}^2.$

Esta regra pode ser aplicada com a regra do estiramento e o teorema dos eixos perpendiculares para encontrar momentos de inércia para uma variedade de formatos.

Regra dos eixos paralelos para o momento de inércia de uma área.

A regra dos eixos paralelos também aplica-se ao segundo momento de área (momento de inércia de área);

$I_z=I_x+A{d}^2.$

onde:

I_z é o momento de inércia de área através do eixo paralelo,

I_x é o momento de inércia de área através do centroide da área,

A é a medida de superfície da área, e

d é a distância do novo eixo z ao centroide da área.

O teorema dos eixos paralelos é um dos diversos teoremas referido como teorema de Steiner, devido a Jakob Steiner.

Demonstração

Pode-se supor, sem perda de generalidade, que num sistema de coordenadas cartesiano a distância perpendicular entre os eixos está sobre o eixo x e que o centro de massa se encontra na origem. O momento de inércia relativo ao eixo z, passando sobre o centro de massa, é:

$I_{cm}=\int (x^2+y^2)dm$

O momento de inércia relativo ao novo eixo, que dista r, ao longo do eixo x, do centro de massa, é:

$I_z=\int ((x-r{)}^2+y^2))dm$

Expandindo o quadrado dentro da integral, tem-se:

$I_z=\int (x^2-2xr+r^2+y^2)dm=\int (x^2+y^2)dm+r^2\int dm-2r\int xdm$

O primeiro termo é I_cm, o segundo se torna mr² e o terceiro se anula uma vez sendo o centro de massa localizado na origem. Assim:

$I_z=I_{cm}+m{r}^2$

Em mecânica clássica

Em mecânica clássica, o teorema dos eixos paralelos (também conhecido como teorema de Huygens-Steiner) pode ser generalizado para calcular um novo tensor de inércia J_ij de um tensor inércia sobre um centro de massa I_ij quando o ponto pivô é um deslocamento a do centro de massa:

$J_{ij}=I_{ij}+M(a^2{\delta }_{ij}-a_i{a}_j)$

onde

$𝒂=a_1\widehat{𝒙}+a_2\widehat{𝒚}+a_3\widehat{𝒛}$

é o vetor deslocamento do centro de massa ao novo eixo, e

${\delta }_{ij}$

é o delta de Kronecker.

Nós podemos ver que, para elementos diagonais (onde i = j), deslocamentos perpendicular ao eixo de rotação resulta na versão simplificada acima do teorema dos eixos paralelos.

Ver também

• Teorema dos eixos perpendiculares
• Regra do estiramento

Bibliografia

• Predefinição:Link