Topologia grosseira
Em topologia, um espaço topológico diz-se grosseiro,[Nota 1] trivial [1] ou indiscreto [2] se os seus únicos abertos são o conjunto vazio e o próprio X.[1][2]
Um espaço topológico é um conjunto com uma estrutura a mais; esta estrutura é que permite definir, neste conjunto, o que são funções contínuas.[3]
Existem várias definições equivalentes do que seja um espaço topológico.[1] A forma mais usual Predefinição:Carece de fontes é definir esta estrutura sobre o conjunto X como um outro conjunto T, cujos elementos são subconjuntos de X, chamados de conjuntos abertos, e que satisfaz determinados axiomas, dentre os quais que e .[3][1] A topologia grosseira é a "menor" topologia possível, ou seja, é aquela em que apenas X e são conjuntos abertos.[1][4]
Por ser cada topologia um conjunto, eles podem ser parcialmente ordenados por inclusão, ou seja, é possível definir quando uma topologia é mais grosseira que outra ou, inversamente, quando uma topologia é mais fina que outra. Uma topologia T é mais grosseira que T' (ou seja, T' é mais fina que T) quando Uma topologia mais grosseira tem menos conjuntos abertos do que uma topologia mais fina. A topologia grosseira tem este nome por ser mais grosseira que qualquer outra topologia. Analogamente, no outro extremo existe a topologia discreta, que é mais fina que todas outras.[1][4]
Propriedades
Um espaço grosseiro:
- Se o espaço X tem pelo menos dois pontos distintos x e y, então estes pontos (e quaisquer outros dois pontos) são topologicamente indistinguíveis.Predefinição:Carece de fontes Ou seja, este espaço não é T0.[5][Nota 2]
- é conexo [2]
- é compacto
- Seja p um ponto qualquer do espaço X e S um subconjunto de X. Diz-se que p é um ponto limite de S quando qualquer aberto da topologia que contenha p também contém outro ponto de S distinto de p. Na topologia indiscreta, para todo subconjunto S com pelo menos um elemento, todo ponto p do espaço X (exceto no caso de S = { p } ) é um ponto limite de S.[Nota 3][2]
- Toda função cujo contradomínio é a topologia indiscreta é uma função contínua.[2]
Ver também
Predefinição:Notas e referências Predefinição:Esboço-matemática
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- ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 A. Candel, Three dimes of Topology, Class Notes for Math 262, Winter 95-96, The University of Chicago, Chapter I. Topological Spaces [em linha]
- ↑ 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 Thayer Watkins, Foundations of Point Set Topology [em linha]
- ↑ 3,0 3,1 Allen Hatcher, Notes on Introductory Point-Set Topology, Chapter 1: Basic Point-Set Topology, 1. The Concept of Topological Space [em linha]
- ↑ 4,0 4,1 Allen Hatcher, Notes on Introductory Point-Set Topology, Chapter 1: Basic Point-Set Topology, 2. Bases and subbases
- ↑ Vipul Naik, Topology: The Journey into Separation Axioms, 2. What are Separation Axioms?, 2.3 Quasiorder by closure, Concept Testers [em linha]