Teorema de Heine-Borel

Predefinição:Sem-notas Em matemática, o teorema de Heine-Borel ou teorema de Borel-Lebesgue, estabelece que em ${ℝ}^n$ um conjunto é compacto se e somente se é fechado e limitado.

Discussão

Um conjunto $K$ é dito compacto se apresentar a seguinte propriedade:

Toda cobertura aberta admite uma subcobertura finita. Ou seja, se $O_{\lambda }$ são conjuntos abertos indexados por um índice $\lambda \in I$ e:

$K\subseteq \bigcup _{\lambda \in I}{O}_{\lambda }$

Então existe uma família finita ${\left\{O_{{\lambda }_n}\right\}}_{n=1}^N$ que cobre $K$:

$K\subseteq \bigcup _{n=1}^N{O}_{{\lambda }_n}$

Esta propriedade é chamada de propriedade de Heine-Borel ou propriedade de Borel-Lebesgue.

Um conjunto $F$ é dito fechado se toda sequência convergente contida em $F$ converge para um ponto de $F$, ou seja:

$x_n\in F\text{ e }{x}_n\to x$, então: $x\in F$

Um conjunto é dito limitado se estiver contido em alguma bola de raio finito.

Um lema sobre a distância de um compacto a um ponto fora dele

Mostraremos que se $K$ é um conjunto compacto e $x^{*}\notin K$ então existe um número $\delta >0$, tal que:

$|x^{*}-y|\ge \delta ,\mathrm{\forall }y\in K$

Para tal, defina:

$r(y)=\frac{|x^{*}-y|}{2},\mathrm{\forall }y\in {ℝ}^n$

É claro que $r(y)>0$ para todo ponto $y$ em $K$.

Agora construa os abertos:

$O_y=B(y,r(y)),\mathrm{\forall }y\in K$, ou seja, a bola de centro y e raio $r(y)$

Eles formam uma cobertura para $K$:

$K=\bigcup _{y\in K}\{y\}\subseteq \bigcup _{y\in K}{O}_y$

Usando a definição de compacidade, estabelecemos a existência de um conjunto finito de pontos $y_1,y_2,\dots ,y_n\in K$ tais que:

$K\subseteq \bigcup _{k=1}^n{O}_{y_k}$

Por construção, os abertos $O_y$ são disjuntos das bolas centradas em $y^{*}$ de raio $r(y)$:

$O_y\bigcap B(x^{*},r(y))=B(y,r(y))\bigcap B(x^{*},r(y))=\mathrm{\varnothing }$

Defina:

$\delta ={\min }_{k=1}^{n}r(y_k)$

temos:

$O_{y_k}\bigcap B(x^{*},\delta )=B(y_k,r(y_k))\bigcap B(x^{*},\delta )=B(y_k,r(y_k))\bigcap B(x^{*},r(y_k))=\mathrm{\varnothing },\mathrm{\forall }k=1,\dots ,n$

Tomando a união, temos:

$K\bigcap (B(x^{*},\delta ))\subseteq \left(\bigcup _{k=1}^n{O}_{y_k}\right)\bigcap B(x^{*},\delta )=\mathrm{\varnothing }$

Pela definição da bola $B(x^{*},\delta )$, temos que todo ponto do conjunto $K$ está a uma distância não inferior a $\delta$, o que completa a demonstração.

Compacto implica fechado

Seja $K$ um conjunto compacto e seja $K^c$ seu complementar. O lema anterior mostra que $K^c$ contém uma bola aberta em torno de cada um de seus pontos, logo é aberto.

Compacto implica limitado

Seja um conjunto não limitado, então ele possui uma seqüência com as seguintes propriedade:

• $|x_{n+1}|>|x_n|$
• $|x_n|\to \mathrm{\infty }$

Construa a cobertura:

$O_n=B(0,|x_n|)$

A união dos $O_n$ cobre todo o espaço, mas nenhuma subcobertura finita cobre toda a seqüência $x_n$.

Assim, nenhum conjunto não-limitado é compacto.

Fechado e limitado implica compacto

Vamos utilizar o argumento do teorema de Bolzano-Weierstrass.

Para tal, considere um conjunto $K$ fechado e limitado e suponha, por absurdo, que não seja compacto, ou seja, que exista uma cobertura de abertos e não admita subcobertura finita.

Por ser limitado, deve estar contido em algum hipercubo:

• $K\subseteq [a_1^1,b_1^1]\times [a_1^2,b_1^2]\times \dots \times [a_1^n,b_1^n]$

Faço bisseção de cada uma das arestas do hipercubo, de forma a obter $2^n$ hipercubos menores. Considere os subconjuntos formados pela intesecção de $K$ com cada um destes hipercubos menores. Pelo menos um desses conjuntos não pode ser coberto com uma subcobertura finita.

Prossiga o argumento recursivo para obter uma seqüencia de conjuntos fechados (pois cada hipercubo é fechado e a intersecção de fechados é um fechado) encaixados cujo diâmetro tende a zero. Aplique o teorema de Cantor para obter um ponto na intersecção de todos estes fechado que não pode ser coberto por subcobertura finita. Um absurdo.

Aplicação

A forma com que se foi apresentado aqui os conjuntos compactos, podemos fazer uma ilustração com um importante resultado utilizado na Análise: funções contínuas levam conjuntos compactos em conjuntos compactos. De modo geral, esta propriedade vale para quaisquer espaços topológicos.

A seguir apresentaremos uma versão desse teorema para a análise real, considerando os conjuntos em $R$. O resultado que será apresentado seguirá de sua respectiva demonstração e vale lembrar que em outros contextos (ou seja, considerando $X$ em alguma outra topologia que não seja $R$ a demonstração seguirá da mesma forma já que usamos resultados que valem de mogo geral.

Teorema: Considere $f$ uma função contínua de $R$ em $R$. Sendo $X\subset R$ compacto, então $f(X)$ é compacto.

Demonstração: Dada uma cobertura qualquer de abertos para $f(X)$ de forma que $f(X)\subset \bigcup _{i\in △}{U}_i$ e onde cada $U_i$ é aberto. Daí,

$X\subset f^{-1}\left(\bigcup _{i\in △}{U}_i\right)\Rightarrow X\subset \bigcup _{i\in △}{f}^{-1}(U_i)$

Como $U_i$ é aberto e $f$ é contínua então $f^{-1}(U_i)$ é aberto para todo $i$. Além disso, já que $X$ é compacto, então podemos extrair uma subcobertura finita de abertos da qual temos pelo Teorema de Borel-Lebesgue. Daí, existe $k\in N$ de modo que

$X\subset \bigcup _{i=1}^k{f}^{-1}(U_i)\Rightarrow f(X)\subset \bigcup _{i=1}^k{U}_i$

Ou seja, dada uma cobertura qualquer de abertos, conseguimos uma cobertura finita para $f(X)$. Logo este conjunto é compacto.

Referências

• MILIOLI, SIMONE DA LUZ. Conjuntos Compactos. 2000, UFSC. Disponível em<https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/97155/Simone_Milioli_da_Luz.PDF?sequence=1>