Teorema de Bolzano-Weierstrass

Predefinição:Sem notas O teorema de Bolzano-Weierstrass estabelece que um conjunto do ${ℝ}^n$ é sequencialmente compacto se e somente se é fechado e limitado.

Por sequencialmente compacto, entende-se que toda sequência extraída do conjunto, possui uma subsequência convergente. Ou seja, se $K$ é um conjunto seqüencialmente compacto e $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ é uma seqüência de pontos pertencentes a $K$, então existe uma subseqüência $(x_{n_k}{)}_{k\in \mathbb{N}}\subset (x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ tal que:

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_{n_k}=x^{*}\in K$

Um conjunto $F$ é dito fechado se toda sequência convergente contida em $F$ converge em $F$, ou seja:

$x_n\in F$ e $x_n\to x$, então: $x\in F$

Um conjunto é dito limitado se estiver contido em alguma esfera de raio finito.

Lema de Bolzano-Weierstrass na reta

Estebeleceremos o seguinte lema que nos permitirá dar seqüência à demonstração do teorema.

Seja $x_n$, uma sequencia limitada em $ℝ$, então existe uma subsequência $x_{n_k}$ convergente.

Demonstração: Primeiramente, defina $x_{n_1}=x_1$

Como $x_n$ é limitada, existe um intervalo $[a_1,b_1]$ tal que:

$x_n\in [a_1,b_1],\mathrm{\forall }n$

Seja $M_1=\frac{b_1+a_1}{2}$ o ponto médio entre $a_1$ e $b_1$.

Como $[a_1,b_1]=[a_1,M_1]\bigcup [M_1,b_1]$, deve haver pelo menos um destes intervalos com a propriedade que $x_n$ pertence a ele infinitas vezes. Escolha um destes intervalos.

Defina $x_{n_2}$ como qualquer elemento da sequência que pertence ao intervalo escolhido contando que $n_2>n_1$ .

Se o intervalo escolhido foi aquele que fica à direita, então defina:

$a_2=M_1\text{ e }{b}_2=b_1$

Caso contrário escolha:

$a_2=a_1\text{ e }{b}_2=M_1$

Observe que:

$b_2-a_2=\frac{b_1-a_1}{2}$, ou seja, o comprimento do intervalo foi reduzido pela metade.

Repita este processo recursivamente, de forma a obter uma sequência de intervalos $[a_k,b_k]$ e de pontos $x_{n_k}$ com as seguintes propriedades:

• $x_{n_k}\in [a_k,b_k]$
• $b_k-a_k=\frac{b_{k-1}-a_{k-1}}{2}=\frac{b_1-a_1}{2^{k-1}}$
• $a_k\ge a_{k-1}$
• $b_k\le b_{k-1}$

Assim, $a_k$ é uma sequência não-decrescente e limitada superiormente por $b_1$, portanto converge para um limite, digamos, $a$. $b_k$ é uma sequência não-crescente e limitada inferiormente por $a_1$, portanto também converge para um limite $b$.

Mas $b_k-a_k=\frac{b_1-a_1}{2^{k-1}}\to 0$, portanto $a=b$. Como $a_k\le x_{n_k}\le b_k$, o teorema do confronto estabelece que $x_{n_k}$ converge para o mesmo limite.

Lema de Bolzano-Weierstrass em mais dimensões

A demonstração pode ser feita de duas formas.

Uma delas é generalizar a demonstração acima para ${ℝ}^m$:

Então seja $x_n$ limitada em ${ℝ}^n$, existe uma hipercubo (a rigor, um hiperparalelogramo) que contém a sequência:

$x_n\in [a_1^1,b_1^1]\times [a_1^2,b_1^2]\times \dots \times [a_1^n,b_1^n]$

Dividindo-se, em cada passo, o hipercubo em $2^m$ sub-hipercubos, constrói-se uma sequência $\{x_{n_k}\}$ da mesma forma como em $ℝ$.

Agora escreva as componentes do vetor $x_{n_k}=(x_{n_k}^1,x_{n_k}^2,\dots ,x_{n_k}^m)$. Como $a_k^i\le x_{n_k}^i\le b_k^i,i=1,2,\dots ,n$, temos que cada componente está convergindo e, portanto, existe o limite: $x_{n_k}\to x^{*}$ O resultado segue.

Outra forma é por indução finita na dimensão m:

Para m = 1, temos o resultado em $ℝ$

Se vale para ${ℝ}^m$, então, dada uma sequência em ${ℝ}^{m+1}$, temos que as coordenadas de 1 a m estão no ${ℝ}^m$, portanto existe uma subsequência convergente para estas coordenadas. A m+1-ésima coordenada desta subsequência está em $ℝ$, portanto existe um sub-sub-sequência que converge para esta última coordenada. Agora é fácil ver que esta sub-sub-sequência converge para todas coordenadas, logo converge em ${ℝ}^{m+1}$ - o que prova o resultado.

Fechado e limitado implica sequencialmente compacto

Considere que um conjunto seja fechado e limitado, queremos mostrar que é sequencialmente compacto.

Seja $\{x_n\}$ uma sequência extraída do conjunto, como o conjunto é limitado, a sequência também o é. Pelo lema acima, ela admite uma subsequência convergente. Como o conjunto é fechado, o limite pertence ao conjunto.

Sequencialmente compacto implica limitado

Seja $F$ um conjunto não-limitado. Por não ser limitado, deve possuir uma sequência $\{x_n\}$ tal que: $|x_n|\to \mathrm{\infty }$ que, portanto não converge.

Logo o conjunto não é sequêncialmente compacto.

Sequencialmente compacto implica fechado

Seja $K$ um conjunto seqüencialmente compacto e seja $\{x_n\}$ um sequência convergente extraída de $K$, da compacidade, segue que o limite pertence a $K$ e o resultado segue.

Ver também

• Teorema de Heine-Borel que afirma que um conjunto é compacto se e somente se é fechado e limitado.
• Paradoxos do infinito
• Bernard Bolzano
• Karl Weierstrass

Bibliografia

• Predefinição:Citar livro