Adição de matrizes

Em matemática a adição de matrizes é uma operação que produz a soma de duas matrizes. Duas operações distintas são definidas como a soma de matrizes: a soma termo a termo e a soma direta.

Definição

Soma termo a termo

A adição usual de duas matrizes é definida quando elas possuem as mesmas dimensões: a soma de duas matrizes A e B de ordem $m\times n,$ denotada por A + B, é também uma matriz m por n, cujos termos são a soma dos termos correspondentes das matrizes A e B. Se o termo situado na interseção da linha i com a coluna j da matriz M for denotado por M_ij, então a soma das matrizes A e B pode ser definida pela fórmula

$(A+B{)}_{ij}=A_{ij}+B_{ij},$ para cada i de 1 a m e cada j de 1 a n.

Soma direta

Predefinição:Artigo principal Outra operação, que é usada com menos frequência, é a soma direta (denotada por ⊕). A soma direta de qualquer par de matrizes A de ordem m × n e B de ordem p × q é uma matriz de ordem (m + p) × (n + q) definida como

$A\oplus B=\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}{A}_{11}& \cdots & A_{1n}& 0& \cdots & 0\\ ⋮& \cdots & ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ A_{m1}& \cdots & A_{mn}& 0& \cdots & 0\\ 0& \cdots & 0& B_{11}& \cdots & B_{1q}\\ ⋮& \cdots & ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& B_{p1}& \cdots & B_{pq}\end{array}\right]$

A soma direta de matrizes é um tipo especial de matriz por blocos, em particular a soma direta de matrizes quadradas é uma matriz diagonal por blocos.

A matriz de adjacência da união de dois grafos ou multigrafos disjuntos é a soma direta de suas matrizes de adjacência. Qualquer elemento da soma direta de dois espaços vetoriais de matrizes pode ser representado como uma soma direta de duas matrizes.

Em geral, a soma direta de n matrizes é:

$\underset{i=1}{\overset{n}{⨁}}{A}_i=\text{diag}(A_1,A_2,A_3,\dots ,A_n)=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}{A}_1& \\ & A_2\end{array}& 0\\ 0& \begin{array}{cc}\ddots & \\ & A_n\end{array}\end{array}\right].$

Exemplos

Soma termo a termo

Considere as matrizes

$A=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 0\\ 1& 2\end{array}\right]$ e $B=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 7& 5\\ 2& 1\end{array}\right].$

Sua soma é obtida da seguinte maneira:

$A+B=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 0\\ 1& 2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 7& 5\\ 2& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1+0& 3+0\\ 1+7& 0+5\\ 1+2& 2+1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 8& 5\\ 3& 3\end{array}\right].$

Soma direta

A soma direta das matrizes $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 2& 3& 1\end{array}\right]$ e $B=\left[\begin{array}{cc}1& 6\\ 0& 1\end{array}\right]$ é:

$A\oplus B=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 2& 3& 1\end{array}\right]\oplus \left[\begin{array}{cc}1& 6\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}1& 3& 2& 0& 0\\ 2& 3& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 6\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right].$

Bibliografia

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