Dualidade de Pontryagin

Predefinição:Mais notas Na matemática, mais especificadamente na análise harmônica e na teoria dos grupos topológicos, a dualidade de Pontryagin explica as propriedades gerais da transformada de Fourier em grupos abelianos locais, como os reais, os circulares, ou grupos cíclicos finitos. O teorema da dualidade de Pontryagina em si, afirma que grupos abelianos localmente compactos se identificam naturalmente com seu bi-dual.

Introdução

A dualidade de Pontryagin coloca em um contexto unificado um número de observações sobre funções no domínio real ou em um grupo abeliano finito.

• Funções periódicas regulares com números complexos, no domínio real tem série de Fourrier e tal função pode ser recuperada de sua série de Fourrier.
• Funções complexas adequadamente regulares no domínio real tem transformada de Fourrier que são funções no domínio real e, somente funções periódicas podem ser recuperadas de sua tranformada de Fourrier; e
• Funções complexas em um grupo abeliano finito tem transformadas de Fourrier discretas, que são funções no grupo dual, que é (não canonicamente) um grupo isomórfico. Além disso, toda função em um grupo finito pode ser recuperada de sua transformada de Fourrier discreta.

A teoria, introduzida por Lev Pontryagin e combinada com com a medida de Haar, introduzida por John von Neumann, André Weil e outros, depende da teoria dos grupos duais de um grupo abeliano localmente compacto.

Tal fato é análogo ao espaço vetorial dual de um espaço vetorial: um espaço vetorial de dimensão finita V e seu espaço vetorial dual V* não são naturalmente isomórficos, mas a álgebra do endomorfismo (álgebra matricial) de um é isomórfica ao oposto da álgebra do endomorfismo do outro : $End(V)\cong End(V^{*}{)}^{op}$, pela transposta. Similarmente, um grupo $G$ e seu grupo dual $\hat{G}$ não são em geral isomórficos, mas seus anéis de endomorfismo são opostos um ao outro: $End(G)\cong End(\hat{G}{)}^{op}$. Mais categoricamente, isso não é somente um isomorfismo das álgebras do endomorfismo, mas uma equivalência contravariante das categorias.

Definição

Um grupo topológico é um grupo localmente compacto se o espaço topológico subjacente é localmente compacto e Hausdorff; um grupo topológico é abeliano se o grupo subjacente é abeliano. Exemplos de grupos abelianos localmente compactos incluem os grupos abelianos finitos, os inteiros (ambos para a topologia discreta, que é também induzida pela métrica usual), os números reais, o grupo circular T(ambos com sua topologia métrica usual), e também os números p-ádicos (com sua topologia p-ádica usual).

Para um grupo abeliano localmente compacto $G$, o dual de Pontryagin é o grupo $\hat{G}$ dos contínuos homomorfismos de grupo de $G$ para o grupo circular T. Ou seja,

$\hat{G}:=Hom(G,T)$.

O dual de Pontryagin $\hat{G}$ é usualmente dotado da topologia dada pela convergência uniforme em conjuntos compactos (que é a topologia induzida pela topologia compacto-aberta no espaço de todas as funções contínuas de $G$ para $T$.

Por exemplo,

$\hat{\mathbb{Z}}=T,\widehat{ℝ}=ℝ,\hat{T}=\mathbb{Z}$