Função mensurável

Predefinição:Mais-fontes Em matemática, sobretudo na teoria da medida, funções mensuráveis são aquelas que apresentam comportamento suficientemente simples para que se possa desenvolver uma teoria de integração.

Definição

Seja $f:X\to Y$ uma função, onde $(X,𝔐)$ e $(Y,𝔑)$ são espaços mensuráveis. Uma função é dita $(𝔑,𝔐)$-mensurável se

$f^{-1}(E)\in 𝔐,\mathrm{\forall }E\in 𝔑$,

isto é, se a pré-imagem de todo conjunto $𝔑$-mensurável é $𝔐$-mensurável.

Função Borel mensurável

Um caso particular importante da definição acima acontece quando tomamos $𝔑$ como sendo a álgebra de Borel, neste caso (se a definirmos como a menor sigma-álgebra contendo a topologia), a seguinte definição é equivalente:

Seja $f:X\to Y$ uma função, onde $(X,𝔐)$ é um espaço mensurável e $(Y,\tau )$ é um espaço topológico. Uma função é dita Borel-$𝔐$-mensurável se:

$f^{-1}(O)\in 𝔐,\mathrm{\forall }O\in \tau$

Função Borel-Lebesgue mensurável

Uma função é dita Borel-Lebesgue mensurável quando $𝔐=𝔏$, a σ-álgebra de Lebesgue e $𝔑=𝔅$, a álgebra de Borel.

Muitas vezes, uma função Borel-Lebesgue mensurável é dita apenas Lebesgue-mensurável ou simplesmente mensurável.

Função reais Borel-Lebesgue mensurável

É costume representar uma função $f:D\to {ℝ}^n$ pelas suas componente no contra-domínio:

$f(x)=(f^1(x),f^2(x),\dots ,f^n(x))$

Pode-se mostrar que $f:D\to {ℝ}^n$ é Borel-Lebesgue-mensurável se e somente se cada uma das $f^k:D\to ℝ$ é Borel-Lebesgue-mensurável.

Propriedades

Sejam $f:D\to {ℝ}^n$ e $g:D\to {ℝ}^n$ funções Borel-Lebesgue-mensuráveis onde $D$ é um conjunto mensurável de ${ℝ}^m$ e $\alpha$ e $\beta$ reais então:

• $\alpha f(x)+\beta g(x)$ é mensurável
• $f(x)g(x):=(f^1(x)g^1(x),f^2(x)g^2(x),\dots f^n(x)g^n(x))$ é mensurável
• $f(x+\lambda )$ é mensurável para todo $\lambda \in {ℝ}^m$
• Se $h:D\to {ℝ}^n$ e $\mu \left(\{f(x)=h(x)\}\right)$ então $h$ é mensurável.
• Se $f_n:D\to ℝ$ são mensuráveis e convergem quase-sempre então o limite é uma função mensurável.