Sigma-álgebra de Lebesgue

Em matemática, sobretudo na teoria da medida, a $\sigma -$álgebra de Lebesgue é uma família de conjuntos que recebem o nome de conjuntos mensuráveis à Lebesgue, ou ainda, conjuntos Lebesgue mensuráveis.

Esta família é formada por subconjuntos do ${ℝ}^n$, forma uma sigma-álgebra e é denotada normalmente por ${𝔏}^n$.

A $\sigma -$álgebra de Lebesgue contém todos os conjuntos abertos e fechados e portanto todos os conjuntos da álgebra de Borel.

Definição

Um subconjunto $E$ de ${ℝ}^n$ pertence a ${𝔏}^n$ se e somente se tiver a seguinte propriedade:

${\mu }^{*}(S)={\mu }^{*}(S\cap E)+{\mu }^{*}(S\cap E^c)\mathrm{\forall }S\subseteq {ℝ}^n$

onde ${\mu }^{*}$ é a medida exterior de Lebesgue.

Definição equivalente

Um subconjunto $E$ de ${ℝ}^n$ pertence a ${𝔏}^n$ se e somente se estiver entre dois borelianos cuja diferença tem medida zero:

$A\subseteq E\subseteq B\mu (B\mathrm{\setminus }A)=0$

Pode-se mostrar que é possível supor $A\in {𝔉}_{\sigma }$ e $B\in {𝔊}_{\delta }$. Predefinição:Referências