Partição da unidade

Predefinição:Sem fontes Em matemática, uma partição da unidade em um espaço topológico X é uma família de funções contínuas $\{{\rho }_i{\}}_{i\in I}:X\to [0,1]$ de forma que, para cada ponto $x\in X$:

• existe uma vizinhança de x em que todas, exceto uma quantidade finita, das funções são identicamente zero.
• a soma das funções em x é 1, ou seja

$\sum _{i\in I}{\rho }_i(x)=1$.

Partição da unidade subordinada a uma cobertura

Dada uma cobertura do espaço topológico X por abertos $X\subseteq \bigcup _{i\in I}{A}_i$, uma partição da unidade subordinada à cobertura {A_i} é uma partição da unidade $\{{\rho }_i{\}}_{i\in I}:X\to [0,1]$ em que para todo x existe um i tal que o suporte da função ρ_i está contido no aberto A_i.

Construção

Muitas vezes desejam-se propriedades adicionais para a partição da unidade, por exemplo, pode-se exigir que elas sejam infinitamente diferenciáveis - o que contradiz a intuição de que uma função que se anula em uma região e seja infinitamente diferenciável possa ter valores não-nulos fora dela. Uma ferramenta para construí-las se baseia na função exp(-1/x).