Teorema da representação de Riesz

Em matemática, existem diversos teoremas que recebem o nome de teorema da representação de Riesz.

O mais conhecido destes teoremas é o Teorema de Riesz–Fréchet que se refere à representação de funcionais lineares contínuos em espaços de Hilbert.

Teorema da representação de Riesz–Fréchet

Seja $H$ um espaço de Hilbert, munido de produto interno, e $\varphi :H\to K$ um funcional linear contínuo. Então existe um único $y_0\in H$ tal que:

$\varphi (x)=⟨x,y_0⟩,\mathrm{\forall }x\in H$

E além disso:

$||\varphi ||=||y_0||$

Portanto o teorema estabelece uma identificação entre um espaço de Hilbert e seu espaço dual.

Motivação

Se $H$ é um espaço de Hilbert munido de produto interno e $y\in H$ então existe o funcional:

${\varphi }_y:H\to K,{\varphi }_y(x)=⟨x,y⟩$

Note que:

• Esse funcional é linear pois o produto interno mantêm linearidade.
• Contínuo pois: fixando $ϵ>0$ se $||w||-||z||\le \frac{ϵ}{||y||}$ então:${\varphi }_y(w)-{\varphi }_y(z)=⟨y,w⟩-⟨y,z⟩\le ||y||.||w||-||y||.||z||=||y||(||w||-||y||)\le ||y||.\frac{ϵ}{||y||}=ϵ$.
• $||{\varphi }_y||=||y||$ pois $||{\varphi }_y(\frac{y}{||y||})||=\frac{||{\varphi }_y(y)||}{||y||}=\frac{⟨y,y⟩}{||y||}=\frac{||y|{|}^2}{||y||}=||y||$.

Ou seja, ${\varphi }_y\in H^{\prime }$ e $||{\varphi }_y||=||y||$.

Seria interessante que todos os funcionais lineares contínuos fossem da forma descrita acima para algum $y\in H$.

Demonstração

Se $\varphi$ é um funcional tal que $\varphi (x)=0$ sempre, então basta tomar $y_0=0$ que então $\varphi (x)=0=⟨0,x⟩\mathrm{\forall }x\in H$.

Se $\varphi$ não é identicamente nulo, então o núcleo de $\varphi$ que é o conjunto $N=\{x\in H:\varphi (x)=0\}$ é um subespaço próprio e fechado de $H$.

Portanto $N^{\perp }\ne \{0\}$ . Seja $x_0\in N^{\perp }$ tal que $||x|=1$.

Vamos provar que $y_0=\varphi (x_0).x_0$ satisfaz a condição do teorema.

Dado $x\in H$ note que como podemos decompor $H$ como soma direta de $N$ com $N^{\perp }$ então $x=(x-\frac{\varphi (x)}{\varphi (x_0)}{x}_0)+\frac{\varphi (x)}{\varphi (x_0)}{x}_0$ onde: $x-\frac{\varphi (x)}{\varphi (x_0)}{x}_0\in N$ e $\frac{\varphi (x)}{\varphi (x_0)}{x}_0\in N^{\perp }$ .

Logo :

$⟨x,y_0⟩=⟨x-\frac{\varphi (x)}{\varphi (x_0)}{x}_0,y_0⟩+⟨\frac{\varphi (x)}{\varphi (x_0)}{x}_0,y_0⟩$

Como $y_0\in N^{\perp }$ e $x-\frac{\varphi (x)}{\varphi (x_0)}{x}_0\in N$ então:

$⟨x,y_0⟩=0+\frac{\varphi (x)}{\varphi (x_0)}⟨x_0,y_0⟩=\frac{\varphi (x)}{\varphi (x_0)}⟨x_0,\varphi (x_0).x_0⟩=\varphi (x)⟨x_0,x_0⟩=\varphi (x).||x_0||$

Como $||x_0||=1$ então temos que:

$⟨x,y_0⟩=\varphi (x).$

Consequências

• Todo espaço de Hilbert é isomorfo ao seu dual.
• O dual de um espaço de Hilbert também é de Hilbert

Bibliografia

• Geraldo Botelho, Daniel Pellegrino e Eduardo Teixeira (2011), Fundamentos de Análise Funcional