Contradomínio

Contradomínio (cinza), imagem (amarelo) e domínio (verde) na versão brasileira (igual à inglesa). Na versão portuguesa, o conjunto cinza é o conjunto de chegada, e o amarelo é o contradomínio (por vezes também designado conjunto das imagens ou, simplesmente, imagem).

Em matemática, o Predefinição:PBPE de uma função é o conjunto que contém todas as imagens (ou saídas, ou elementos dependentes) possíveis para a função. Assim, se o conjunto Predefinição:Mvar é o contradomínio de uma função Predefinição:Mvar, todos os valores de Predefinição:Mvar devem pertencer a Predefinição:Mvar. Na notação $g:X\to Y$, o conjunto Predefinição:Mvar é o contradomínio (conjunto de chegada) da função Predefinição:Mvar e é igual ou contém a imagem da função. O contradomínio de uma função Predefinição:Mvar também é chamado de codomínio e abreviado como Predefinição:Math.

O contradomínio é parte de uma função Predefinição:Mvar se ela for definida como descrito em 1954 por Nicolas Bourbaki, a saber, como uma tripla Predefinição:Math, em que Predefinição:Mvar é um conjunto funcional do produto cartesiano Predefinição:Math e Predefinição:Math é o conjunto de primeiras componentes dos pares em Predefinição:Mvar (o domínio). O conjunto Predefinição:Mvar é chamado de gráfico da função. O conjunto de todos os elementos da forma Predefinição:Math, em que Predefinição:Mvar percorre todos os elementos do domínio Predefinição:Mvar, é chamado de imagem de Predefinição:Mvar. Em geral, a imagem de uma função é um subconjunto de seu codomínio. Assim, ela pode não coincidir com o contradomínio. De fato, uma função que não é sobrejetiva tem elementos Predefinição:Mvar em seu contradomínio para os quais a equação Predefinição:Math não possui qualquer solução.

Exemplos

Funções com contradomínios diferentes são, a rigor, diferentes, mesmo que sejam dadas pela mesma lei de associação:

• $f:[0,\mathrm{\infty })\to ℝ$, dada por $f(x)=x^2$;
• $h:ℝ\to [0,\mathrm{\infty })$, dada por $h(x)=x^2$ e
• $g:[0,\mathrm{\infty })\to [0,\mathrm{\infty })$, dada por $g(x)=x^2$.

A função $f$ é injetora, enquanto $h$ é sobrejetora e $g$ é bijetora.

Costuma-se representar uma função por sua lei genérica, sem explicitar o domínio ou o contradomínio. Nestes casos, eles devem ser considerados de forma implícita como os maiores possíveis. Por exemplo, quando se fala na função real $y=\sqrt{x}$, supõe-se que o domínio é o maior subconjunto dos números reais possível, ou seja, o intervalo $[0,\mathrm{\infty })$, e o contradomínio é o conjunto $ℝ$ dos números reais.

Definição alternativa:

Uma definição alternativa de função dada por Bourbaki [Bourbaki, op. cit., p. 77], simplesmente como um gráfico funcional, não inclui um contradomínio e também é amplamente utilizada. Por exemplo, em teoria de conjuntos é desejável permitir que o domínio de uma função seja uma classe própria Predefinição:Mvar, e neste caso, não existe formalmente uma tripla Predefinição:Math. Com esta definição as funções não têm um contradomínio, embora alguns autores ainda utilizem informalmente depois de introduzir uma função na forma Predefinição:Math.

Em Portugal

O contradomínio de uma função é o conjunto das imagens da função. Assim, se o conjunto Predefinição:Mvar é o contradomínio de uma função Predefinição:Mvar, todos os valores de Predefinição:Mvar pertencem a e perfazem Predefinição:Mvar. Na notação $f:X\to Y$, ao conjunto Predefinição:Mvar é chamado conjunto de chegada da função Predefinição:Mvar, que pode ser igual a ou, simplesmente, conter o conjunto Predefinição:Mvar.

Nos exemplos acima, apenas os conjuntos de chegada das funções Predefinição:Mvar e Predefinição:Mvar são iguais. Já o contradomínio, é o mesmo para a três, $[0,\mathrm{\infty })$.

Ver também

• Função (matemática)
• Domínio (matemática)
• Função sobrejectiva
• Função injectiva
• Função bijectiva