Grupo de renormalização

Predefinição:Renormalização e regularização Numa teoria quântica de campos, a regularização de divergências e a renormalização são geralmente vistas apenas como técnicas para tornar funções de correlações finitas. Contudo, elas possuem um significado físico muito profundo e mais importante: a descrição de teorias quânticas de campos mudam conforme a escala de energia. Essa ideia foi introduzida por Kenneth Wilson e é quantificada pelas equações do grupo de renormalização.

Grupo de renormalização no espaço de momentos

Suponha uma teoria quântica de campos com campos $\varphi (x)$ e constantes de acoplamento $g$ descrita pela ação clássica $S(\varphi ,g)$. Vamos considerar a expansão em modos de Fourier de $\varphi (x)$

$\varphi (x)=\int dk{e}^{ikx}\hat{\varphi }(k)$

Usualmente, a integral é sobre todas as frequências $0\le |k|\le \mathrm{\infty }$. Neste caso, várias funções de correlação podem não ser bem definidas. Uma forma de regularizar a teoria é introduzir uma frequência de corte ultravioleta ${\mathrm{\Lambda }}_{UV}$. Isto é, limitamos a integral ao disco

$|k|\le {\mathrm{\Lambda }}_{UV}$

Chamaremos esse campos de ${\varphi }_0(x)$ e diremos que ele é o campo na escala ${\mathrm{\Lambda }}_{UV}$. Então

${\varphi }_0(x)=\underset{0\le |k|\le {\mathrm{\Lambda }}_{UV}}{\int }dk{e}^{ikx}\hat{\varphi }(k)$

Também chamaremos a constante de acoplamento de $g_0$. A função partição sobre os campos ${\varphi }_0(x)$ é

$Z=\int 𝒟{\varphi }_0{e}^{-S({\varphi }_0,g_0)}$

Já que alguns dos modos de Fourier estão faltando, o campo ${\varphi }_0(x)$ é praticamente constante em distâncias menores que $\mathrm{\Delta }x\simeq 1/{\mathrm{\Lambda }}_{UV}$. Então, introduzir uma frequência de corte ultravioleta é o mesmo que introduzir um corte em pequenas distâncias. É óbvio que a introdução desse limite quebra a simetria de Poincaré. Eventualmente, vamos tomar o limite do contínuo $1/{\mathrm{\Lambda }}_{UV}\to 0$, onde a simetria de Poincaré é recuperada. A questão de renormalizabilidade é se podemos fazer isso mantendo as quantidades físicas numa escala de energia finita $\mu$ regulares.

Vamos decompor a região de integração da expansão em modos em duas partes:

$0\le |k|\le \mu$ e $\mu \le |k|\le {\mathrm{\Lambda }}_{UV}$

Chamaremos as expansões em modos correspondentes por

${\varphi }_B(x)=\underset{0\le |k|\le \mu }{\int }dk{e}^{ikx}\hat{\varphi }(k)$

${\varphi }_A(x)=\underset{\mu \le |k|\le {\mathrm{\Lambda }}_{UV}}{\int }dk{e}^{ikx}\hat{\varphi }(k)$

onde B e A referem-se a Baixas e Altas energias. Nós gostaríamos de estudar o comportamento da teoria em energias menores que $\mu$, por exemplo, amplitudes de espalhamento de partículas com momentos $\le \mu$. O que procuramos então é uma ação que descreva esses efeitos somente em termos de ${\varphi }_B(x)$. Ela pode ser obtida integrando sobre ${\varphi }_A(x)$ na integral de trajetória, mantendo ${\varphi }_B(x)$ variável

$e^{-S_{eff}({\varphi }_A,g_0)}=\int 𝒟{\varphi }_A{e}^{-S({\varphi }_B+{\varphi }_A,g_0)}$

Isso é chamado teoria de campos efetiva na energia $\mu$. Por vezes, quando tomamos o limite para o contínuo ${\mathrm{\Lambda }}_{UV}/\mu \to \mathrm{\infty }$, a expressão para a ação fica divergente e isso é a indicação que precisamos mudar a descrição da teoria em baixas energias. Nos casos mais drásticos, precisamos encontrar um novo conjunto completamente novo de campos e simetrias para descrever a teoria. Contudo, em muitos casos, a mudança de variáveis e parâmetros têm a forma:

$g_0=g_0(g,\frac{{\mathrm{\Lambda }}_{UV}}{\mu })$

${\varphi }_0(x)=Z(g,\frac{{\mathrm{\Lambda }}_{UV}}{\mu })\varphi (x)+{\varphi }_A(x)$

Aqui, $\varphi (x)$ e $g$ são os novos campos, em termos dos quais a ação efetiva

$e^{-S_{eff}(\varphi ,g,\mu )}=\int 𝒟{\varphi }_A{e}^{-S({\varphi }_0,g_0)}$

é regular no limite para o contínuo. Os campos ${\varphi }_0(x)$ e as contantes $g_0$ na escala de corte ${\mathrm{\Lambda }}_{UV}$ são chamados de campos nus e constantes de acoplamentos nuas, enquanto $\varphi (x)$ e $g$ são ditas renormalizados.

Equação de Callan-Symanzik

Se pode olhar para essa mudança de campos e constantes de duas formas. Uma forma de ver é fixar $\mu$ e variar ${\mathrm{\Lambda }}_{UV}$. Nós fixamos os campos $\varphi (x)$ e constantes de acoplamento $g$ numa escala $\mu$ (com os valores medidos nessa escala) e mudamos os campos nus ${\varphi }_0(x)$ e as contantes nuas $g_0$. Se pudermos mover ${\mathrm{\Lambda }}_{UV}$ para o infinito sem mudar o comportamento do sistema na energia $\mu$ (descrito por $\varphi (x)$ e $g$), então, nesse limite, obtemos uma teoria quântica de campos com simetria de Poincaré.

Uma outra forma de ver é mover $\mu$, fixando ${\mathrm{\Lambda }}_{UV}$ e consequentemente ${\varphi }_0(x)$ e $g_0$. Desta forma, o campo renormalizado e a constante de acoplamento renormalizada é que mudam com a escala. Essa constante é dita constante de acoplamento corredora. Em particular, se mudamos a escala de ${\mu }_1$ para ${\mu }_2$, as constantes de acoplamento mudarão de $g_1=(g_0,\frac{{\mu }_1}{{\mathrm{\Lambda }}_{UV}})$ para $g_2=g(g_0,\frac{{\mu }_2}{{\mathrm{\Lambda }}_{UV}})$, onde $g(g_0,\frac{\mu }{{\mathrm{\Lambda }}_{UV}})$ é a inversa da função definida anteriormente. Com efeito, definindo um campo com contribuições dos modos de Fourier entre ${\mu }_1\le |k|\le {\mu }_2$, podemos repetir o raciocínio e escrever $g_2=g(g_1,\frac{{\mu }_2}{{\mu }_1})$. Desta forma, uma mudança de escala induz uma mudança das contantes de acoplamento através do campo vetorial

$\beta (g)=\mu \frac{d}{d\mu }g(g_1,\frac{\mu }{{\mu }_1}){|}_{g_1=g,{\mu }_1=\mu }$

Essa equação é chamada de equação de Callan-Symanzik e o campo vetorial $\beta (g)$ é chamado função beta da constante de acoplamento $g$.