Identidades de Green

As identidades de Green formam um conjunto de três igualdades vetoriais envolvendo integrais.

Enunciado

Seja $U$ um conjunto aberto limitado de ${ℝ}^n$ com fronteira $\partial U\in C^1$. Se $u,v\in C^2(\bar{U})$, então:

1. $\underset{U}{\int }\mathrm{\Delta }udx=\underset{\partial U}{\int }\frac{\partial u}{\partial \nu }dS$
2. $\underset{U}{\int }Du\cdot Dvdx=-\underset{U}{\int }u\mathrm{\Delta }vdx+\underset{\partial U}{\int }\frac{\partial v}{\partial \nu }udS$
3. $\underset{U}{\int }(u\mathrm{\Delta }v-v\mathrm{\Delta }u)dx=\underset{\partial U}{\int }(\frac{\partial v}{\partial \nu }u-\frac{\partial u}{\partial \nu }v)dS$

onde $\nu$ é o vetor unitário exterior normal.

Primeira identidade de Green

Essa identidade é derivada do teorema da divergência aplicada ao campo vetorial $F=\psi \mathrm{\nabla }\phi$ e usando a identidade $\mathrm{\nabla }(\phi X)=\mathrm{\nabla }\phi X+\phi \mathrm{\nabla }X$ onde $\phi$e $\psi$são funções escalares definidas em alguma região $U\subset R^d$, e supondo que $\phi$é duas vezes continuamente diferenciável, e $\psi$é uma vez continuamente diferenciável. Então:

$\underset{U}{\int }(\psi \mathrm{\nabla }\phi +\mathrm{\nabla }\psi \mathrm{\nabla }\phi )dV={\oint }_{\partial U}\psi (\mathrm{\nabla }\phi n)dS={\oint }_{\partial U}\psi \mathrm{\nabla }\phi dS$

onde $\mathrm{\Delta }\equiv {\mathrm{\nabla }}^2$é o operador laplaciano, $\partial U$é a limite da região $U$, n é a unidade normal que aponta para fora dos elementos de superfície $dS$e $dS$é o elemento de superfície orientada.

Esse teorema é um caso especial do teorema da divergência, e é essencialmente equivalente dimensional superior da integração por partes com $\psi$ e o gradiente de $\phi$substituindo $u$ e $v$.

Note que a primeira identidade de Green acima é um caso especial da identidade geral derivado do teorema da divergência substituindo $F=\psi \mathrm{\Gamma },$

$\underset{U}{\int }(\psi \mathrm{\nabla }\mathrm{\Gamma }+\mathrm{\Gamma }\mathrm{\nabla }\psi )dV={\oint }_{\partial U}\psi (\mathrm{\Gamma }n)dS={\oint }_{\partial U}\psi \mathrm{\Gamma }dS.$

Segunda identidade de Green

Se $\phi$ e $\psi$ forem ambos duas vezes continuamente diferenciáveis em $U\subset R^3$, e $\epsilon$ uma vez continuamente diferenciável, é possível escolher $F=\psi \epsilon \mathrm{\nabla }\phi -\phi \epsilon \mathrm{\nabla }\psi$ para obter

$\underset{U}{\int }[\psi \mathrm{\nabla }(\epsilon \mathrm{\nabla }\phi )-\phi \mathrm{\nabla }(\epsilon \mathrm{\nabla }\psi )]dV={\oint }_{\partial U}\epsilon (\psi \frac{\partial \varphi }{\partial n}-\phi \frac{\partial \psi }{\partial n})dS.$

Para o caso especial de $\epsilon$= 1 em todo $U\subset R^3$, então,

$\underset{U}{\int }(\psi \mathrm{\Delta }\phi -\phi \mathrm{\Delta }\psi )dV={\oint }_{\partial U}(\psi \frac{\partial \phi }{\partial n}-\phi \frac{\partial \psi }{\partial n})dS.$

Na equação acima, ∂φ/∂n é a derivada direcional de $\phi$na direção do normal n apontada fora para o elemento de superfície $dS$,

$\frac{\partial \phi }{\partial n}=\mathrm{\nabla }\phi n=\mathrm{\nabla }n\phi .$

Em particular, essa demonstração do Laplaciano auto-adjunto no produto interno de $L^2$ para funções desaparecendo nos limites.

Terceira identidade de Green

A terceira identidade de Green deriva da segunda identidade ao escolher $\phi =G$, onde a função $G$de Green é considerada uma solução fundamental do operador de Laplace $\mathrm{\Delta }$. Isso significa que:

$\mathrm{\Delta }G(x,\eta )=\delta (x-\eta .)$

Por exemplo, em $R^3$, a solução tem a forma

$G(x,\eta )=\frac{-1}{4\pi ||x-\eta ||}.$

A terceira identidade de Green diz que se $\psi$ é uma função duas vezes continuamente diferenciável em $U$, então

$\underset{U}{\int }[G(y,\eta )\mathrm{\Delta }\psi (y)]dVy-\psi (\eta )={\oint }_{\partial U}[G(y,\eta )\frac{\partial \psi }{\partial n}(y)-\psi (y)\frac{\partial G(y,\eta )}{\partial n}]dSy.$

A simplificação surge se $\psi$for uma função harmônica. Então ${\mathrm{\nabla }}^2\psi =0$e a identidade é simplificada para

$\psi (\eta )={\oint }_{\partial U}[\psi (y)\frac{\partial G(y,\eta )}{\partial n}-G(y,\eta )\frac{\partial \psi }{\partial n}(y)]dSy.$

O segundo termo na integral acima pode ser eliminado se G é escolhido para ser a função de Green para o limite da região $U$ onde o problema é colocado,

$\psi (\eta )={\oint }_{\partial U}\psi (y)\frac{\partial G(y,\eta )}{\partial n}dS.$

Essa forma é usada para construir soluções de problemas de contorno de Dirichlet. Para achar soluções para os problemas de contorno de Neumann, a função de Green com desaparecimento do gradiente normal nos limites é usada.

É possível verificar que a identidade acima também se aplica quando $\psi$é a solução para a equação de Helmholtz ou equação de onda e $G$é a função de Green apropriada. Nesse contexto, a identidade é matematicamente expressa como o princípio de Huygens.