Trigonometria esférica

Triângulo esférico tri-retângulo (seus ângulos somam 270°).

Em matemática, a trigonometria esférica estuda as propriedades geométricas dos triângulos esféricos, em especial as relações que envolvem ângulos esféricos e arcos esféricos. É a área da geometria esférica que estuda os polígonos que se formam sobre a superfície das esferas, em especial, os triângulos. O estudo de trigonometria esférica tem especial relevância em náutica e navegação para determinar a posição de uma embarcação em alto-mar mediante a observação dos corpos celestes além de emprego na área ‘’design’’ de bola esportivas.

A esfera

Uma esfera E, de centro no ponto (a,b,c) e raio k, é domínio de R³ definido por todos pontos no espaço tridimensional que cumprem com a seguinte definição:

$$E=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3|(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=k^2\}.$$

Círculo máximo

Distância ortodromia entre dois pontos ao largo de um círculo máximo sobre a superfície de uma esfera.

Predefinição:AP A intersecção de uma esfera com um plano que contenha seu centro gera um círculo máximo e uma circunferência máxima sobre a superfície da esfera. Um círculo máximo divide a esfera em dois hemisférios iguais. A distância entre dois pontos da superfície da esfera, unidos por um arco de círculo máximo, é a menor entre eles, e denomina-se distancia ortodrômica. Como exemplos de círculos máximos, temos na superfície terrestre os meridianos e a linha do equador.

Volume e superfície das esferas

O volume de uma esfera é o volume de revolução produzida por um semi círculo que gira ao redor do diâmetro. Segundo esta definição, se o seu raio é r, seu volume será:

$$V=\frac{4}{3}\pi r^3.$$

A superfície é a superfície lateral de um corpo de revolução e será dada por:

$$A=4\pi r^2.$$

Domínio sobre a superfície esférica

Um domínio de superfície esférica é uma área sobre a superfície da esfera, limitado pela curvas dessa superfície.

Triângulo esférico

Triângulo esférico.

Se três pontos da superfície esférica são unidos por arcos de círculo máximo, menores que 180º, a figura obtida denomina-se triângulo esférico. Os lados do polígono assim formado se expressam por conveniência como ângulos cujos vértices são o centro da esfera e não por sua longitude. Este arco medido em radianos e multiplicado pelo raio da esfera é a longitude do arco. Em um triângulo esférico os ângulos cumprem que: 180° < $\alpha$ + $\beta$ + $\gamma$ < 540°.

Fórmulas fundamentais

• $\alpha :$ ângulo formado entre os arcos AC e AB
• $\beta :$ ângulo formado entre os arcos AB e BC
• $\gamma :$ ângulo formado entre os arcos AC e BC

Fórmula do cosseno

$$\cos CB=\cos AC\cos AB+\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}AC\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}AB\cos \alpha$$

Fórmula do seno

$$\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}CB}{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\alpha }=\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}AC}{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\beta }=\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}AB}{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\gamma }$$

Os senos dos lados são proporcionais a os senos dos ângulos opostos.

Fórmula da cotangente

A fórmula da cotangente também se denomina fórmula de elementos consecutivos. Ver na figura os seguintes elementos consecutivos:

ângulo $\alpha ;$ lado $AB;$ ângulo $\beta ;$ lado $BC.$

$$\cos \beta \cos AB=-\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\beta \cot \alpha +\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}AB\cot CB$$

Cosseno dos elementos centrais é igual a: menos seno do ângulo médio pela cotangente do outro ângulo.

Fórmula de Bessel

Das fórmulas dos cossenos, obtendo a seção posterior, pode-se obter de imediato um conjunto de várias fórmulas conhecidas como "relações de seno por cosseno" ou também denominadas Fórmulas de Bessel, especialmente a terceira fórmula de Bessel. Foram deduzidas pela primeira vez pelo matemático Friedrich Wilhelm Bessel.

$$\cos (a/k)=\cos (b/k)\cdot \cos (c/k)+\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(b/k)\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(c/k)\cdot \cos (A)$$

$$\cos (b/k)=\cos (c/k)\cdot \cos (a/k)+\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(c/k)\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(a/k)\cdot \cos (B)$$

$$\cos (c/k)=\cos (a/k)\cdot \cos (b/k)+\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(a/k)\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(b/k)\cdot \cos (C)$$

O conjunto das fórmulas de Bessel pode descrever para a esfera de raio unitário, isto é, a esfera trigonométrica, da forma:

• $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}c\cdot \cos B=\cos b\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}a-\cos a\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}b\cdot \cos C$
• $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}c\cdot \cos A=\cos a\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}b-\cos b\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}a\cdot \cos C$
• $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}b\cdot \cos A=\cos a\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}c-\cos c\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}a\cdot \cos B$
• $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}b\cdot \cos C=\cos c\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}a-\cos a\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}c\cdot \cos B$
• $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}a\cdot \cos B=\cos b\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}c-\cos c\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}b\cdot \cos A$
• $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}a\cdot \cos C=\cos c\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}b-\cos b\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}c\cdot \cos A$

Matrizes das fórmulas de um triângulo esférico

O conjunto das fórmulas do seno, do cosseno (conhecido por alguns como segunda e primeira fórmula de Bessel), e a tercei fórmula de Bessel, podem ser expressas da seguinte forma matricial:

$$\left|\begin{array}{c}\cos (a)\\ \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(a)\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(B)\\ \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(a)\cos (B)\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}\cos (c)& 0& \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(c)\\ 0& 1& 0\\ \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(c)& 0& -cos(c)\end{array}\right|.\left|\begin{array}{c}\cos (b)\\ \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(b)\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(A)\\ \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(b)\cos (A)\end{array}\right|$$

sendo a, b y c os lados; y A, B y C os ângulos do triângulo esférico.

Triângulo esférico retângulo

O triângulo esférico com pelo menos um ângulo reto se denomina triângulo retângulo. Em um triângulo esférico seus três ângulos podem ser retos, em cujo caso, a soma é 270°. Em todos os outros casos essa soma excede os 180° e a esse excesso se denomina excesso esférico; se expressa pela fórmula: E: E = $\alpha$+$\beta$+$\gamma$ - 180°.

Qualquer triângulo esférico pode descompor-se em dois triângulos esféricos retângulos.

Pentágono de Napier

Pentágono de Napier.

O pentágono de Napier é uma regra mnemónica para resolver triângulos esféricos retângulos; tem esse nome em memória do cientista inglês John Napier, e se constrói da seguinte forma:

Coloca-se em cada setor circular: cateto - ângulo - cateto - ângulo - cateto, consecutivamente, tal como aparecem ordenados no triângulo, exceto o ângulo reto C.

Se assinalam os ângulos B, A, e a hipotenusa c por seus complementares:

B por (90° - B)

A por (90° - A)

c por (90° - c)

Estabelecem-se as seguintes regras:

• O seno de um elemento é igual o produto das tangentes dos elementos adjacentes:

  seno(a) = tg(b) tg(90° - B), ou seu equivalente: seno(a) = tg(b) ctg(B)

• O seno de um elemento é igual ao produto dos cossenos dos elementos opostos:

  seno(a) = cosseno(90° - A) cosseno(90° - c), ou seu equivalente: seno(a) = seno(A) seno(c)

Ver também

• Triângulo esférico
• Esfera armilar
• Geodésica
• Geometria não euclidiana
• Topologia
• Nikolái Lobachevski
• Ortodromia

Bibliografia

• Apuntes de Trigonometría esférica. Universidad de Cádiz. Predefinição:Es
• Astronomía Náutica (tomo primero). Luis Virgile. Imprenta Escuela Naval Militar (Argentina). Predefinição:Es

Ligações externas

• Predefinição:En Great Circle Calculator
• Predefinição:En Matemática del Círculo Máximo
• Predefinição:Pt "O Livro de Instruções sobre Planos Desviantes e Planos Simples" é um manuscrito em árabe que remonta a 1740 e fala sobre trigonometria esférica, com diagramas.