Lema de Riemann-Lebesgue

Predefinição:Sem fontes Em matemática, o Lema de Riemann-Lebesgue recebe o nome em honra aos matemáticos Bernhard Riemann e Henri Lebesgue.

Enunciado

Seja $f:ℝ\to ℂ$ uma função L¹. Então:

$\underset{w\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{ℝ}{\int }f(x)\cos (wx)dx=\underset{w\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{ℝ}{\int }f(x)\sin (wx)dx=0$

Equivalentemente, pode-se escrever:

$\underset{w\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{ℝ}{\int }f(x)e^{iwx}dx=0$

Ou seja, a transformada de Fourier de $f$ converge para zero, quando $w$ vai a infinito.

Convergência fraca

O lema de Riemann-Lebesgue mostra que a sequência $\sin (nt)$ converge fracamente para 0 no espaço de Hilbert L2 (a,b).