Convergência fraca

Predefinição:Sem fontes Em matemática, a convergência fraca é um importante conceito da análise funcional aplicado no estudo dos espaços vectoriais topológicos tais como os espaços de Hilbert ou espaços de Banach.

No espaços ${ℝ}^n$ ou ${ℂ}^n$ convergência fraca e convergência em norma são conceitos equivalentes.

Definição

Um seqüência $x_n$ em um espaço vetorial topológico $X$ converge fracamente para um ponto $x$ se:

$l(x_n)\to l(x)$ para todo funcional linear limitado $l$

Escreve-se:

$x_n\rightharpoonup x$

Limitação

Uma seqüência fracamente convergente em um espaço localmente convexo limitada.

Exemplo

Considere o espaço de Hilbert das funções quadrado integráveis no intervalo $[0,2\pi ]$ e a seqüência $\{x_n\}\subseteq L^2[0,2\pi ]$ dada por:

$x_n=\sin (nx),n=1,2,\dots$

Do lema de Riemann-Lebesgue, temos que:

$⟨x_n,u⟩:=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\sin (nx)udx\to 0,\mathrm{\forall }u\in L^2[0,2\pi ]$

portanto:

$\sin (nx)\rightharpoonup 0,$ em $L^2[0,2\pi ]$

Contraste isto com o fato que:

$\Vert x_n\Vert :=\sqrt{\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{\sin }^2(nx)dx}=\sqrt{\pi }$

Predefinição:Esboço-matemática