Cosseno hiperbólico

O cosseno hiperbólico é uma função hiperbólica, assim chamadas pois a parametrização de curvas em cosh e senh originam hipérboles, enquanto que as funções trigonométricas dão origem a circunferências. Sua fórmula é a seguinte:

$\cosh (bt)=\frac{e^{bt}+e^{-bt}}{2}$

Tal função é obtida a partir da representação da função $f(x)=e^x$ da seguinte forma:

$e^x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}+\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

em que o primeiro termo é o cosseno hiperbólico e o segundo termo é o seno hiperbólico.

O gráfico da função cosseno hiperbólico é a catenária.

Estendendo-se o conceito de cosseno para o corpo dos números complexos através da Série de Taylor, verificam-se as seguintes equivalências:

$\cosh (t)=\cos (it)$

$\cos (t)=\cosh (it)$

Onde i é a unidade imaginária.

Relações importantes (para t real):

$(\mathrm{senh}(t)+\cosh (t){)}^m=(e^t{)}^m=e^{mt}=\mathrm{senh}(mt)+\cosh (mt)$

$e^{2t}=\left(\frac{sinh(t)+cosh(t)}{cosh(t)-sinh(t)}\right)$

$e^{2t}=(sinh(t)+cosh(t){)}^2$

${\cosh }^2(t)-{\mathrm{senh}}^2(t)=1$

$e^{-t}(sinh(t)+cosh(t))=1$

$e^t(sinh(t)-cosh(t))=-1$

Demonstração da relação 3:

${\cosh }^2(t)-{\mathrm{senh}}^2(t)={\left(\frac{e^t+e^{-t}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{e^t-e^{-t}}{2}\right)}^2=\left(\frac{e^{2t}+2+e^{-2t}}{4}\right)-\left(\frac{e^{2t}-2+e^{-2t}}{4}\right)=\frac{4}{4}=1$