Gás de Bose

Predefinição:Uma fonte Um gás de Bose ideal é uma versão quântica de um gás ideal clássico. Ele é composto de bósons, partículas que têm um valor inteiro de spin, e portanto obedecem a estatística de Bose-Einstein. A mecânica estatística de bósons foi desenvolvida por Satyendra Nath Bose para fótons, e estendida posteriormente por Albert Einstein para partículas massivas. Einstein percebeu que um gás ideal de bósons iria se condensar quando a temperatura fosse baixa o suficiente, o que não ocorre com um gás ideal clássico. Esta fase da matéria ficou conhecida como Condensado de Bose-Einstein.

Potencial termodinâmico

Devido a Interação de troca, a maneira mais simples de trabalhar com gases quânticos é com o ensemble grande canônico:

$𝒵=\sum _{N=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _i{z}^N{e}^{-\beta {\epsilon }_i}$

que para um gás fica:

$𝒵=\sum _{N=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{\{n_i\}}{}^{\prime }\prod _i{z}^{n_i}{e}^{-\beta n_i{E}_i}$

A segunda soma é restrita ao número total de partículas ser $N$. Uma maneira de fazer tal soma é somar primeiro sobre todos os $N$ possíveis e depois multiplicar todos os níveis. Para um sistema de bósons, qualquer valor de $N$ é permitido, logo:

$𝒵=\prod _i(1+z{e}^{-\beta E_i}{)}^{-1}$

O potencial termodinâmico é então:

$-PV(z,\beta )=\mathrm{\Omega }(z,\beta )=\frac{1}{\beta }\sum _i\ln (1-z{e}^{-\beta E_i})$

Se o gás possuir apenas graus de liberdade translacionais em $d$ dimensões (os demais casos podem ser tratados de forma análoga):

$\mathrm{\Omega }(z,\beta ,V^{(d)})=\frac{V^{(d)}}{\beta }\frac{2{\pi }^{d/2}}{h^d\mathrm{\Gamma }(d/2)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{p}^{d-1}\ln (1-z{e}^{-\beta p^2/2m})-\frac{1}{\beta }{\text{Li}}_1(z)$

onde $\mathrm{\Gamma }$ é a função gama, ${\text{Li}}_s(z)$ é a função polilogarítmica e $V^{(d)}$ é o volume d-dimensional que o gás ocupa.

$\mathrm{\Omega }(z,\beta ,V^{(d)})=-\frac{V^{(d)}(d-1){\pi }^{d/2}}{2m{h}^d}{\left(\frac{2m}{\beta }\right)}^{d/2+1}{\text{Li}}_{d/2+1}(z)-\frac{1}{\beta }{\text{Li}}_1(z)$

Note que a função polilogarítmica só está definida para $z$ reais menores ou iguais a 1. O segundo termo que já estava presente na expressão anterior é a contribuição de momento zero, ou seja, do estado de menor energia.

Condensação de Bose-Einstein

O gás de bósons é o sistema mais simples que apresenta o fenômeno de condensação de Bose-Einstein. Para ver esse efeito, escrevemos o número médio de partículas:

$N(z,\beta ,V^{(d)})=-\beta z\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial z}=\frac{V^{(d)}(d-1){\pi }^{d/2}}{h^d}{\left(\frac{2m}{\beta }\right)}^{d/2}{\text{Li}}_{d/2}(z)+{\text{Li}}_0(z)$

O maior valor da função polilogarítmica acontece em $z=1$ quando o número de partículas em estados excitados é:

$N^{(p>0)}(z,\beta ,V^{(d)})=\frac{V^{(d)}(d-1){\pi }^{d/2}}{h^d}{\left(\frac{2m}{\beta }\right)}^{d/2}\zeta (d)$

Perceba que para $d>2$ isso é um número finito que é atingido numa certa temperatura $T_0$. Todas as demais

$N^{(p=0)}=N[1-{\left(\frac{T}{T_0}\right)}^{d/2}]$

partículas deverão estar no estado fundamental, não importando quantas sejam (contanto que a aproximação de gás continue valendo).

Ver também

• Gás em uma caixa
• Gás de Fermi