Teorema de Hilbert-Schmidt

Predefinição:Sem fontes Em matemática, sobretudo na análise funcional o teorema de Hilbert-Schmidt é um teorema central na caracterização de operadores lineares compactos auto-adjuntos em espaços de Hilbert.

Enunciado

Seja $A:H\to H$ um operador compacto auto-adjunto em um espaço de Hilbert $H$. Então, existe um base ortogonal completa $\{{\varphi }_n{\}}_{n=1}^N$ tal que $A{\varphi }_n={\lambda }_n{\varphi }_n$ e ${\lambda }_n\to 0$. Onde $N$ é dimensão do espaço (podendo ser finita ou infinita).

Forma canônica

Em função deste teorema, podemos escrever a forma canônica do operador como:

$Ax=\sum _{n=1}^N{\lambda }_n⟨x,{\varphi }_n⟩{\varphi }_n$