Fórmula integral de Cauchy

Fórmula integral de Cauchy

Em matemática, a fórmula integral de Cauchy, nomeada em homenagem a Augustin Louis Cauchy, é um teorema central na análise complexa. Ela pode ser expressa pelo fato de que uma função holomorfa, definida sobre e dentro de uma curva simples fechada C, é completamente determinada pelos seus valores na fronteira dessa curva.

O teorema

Seja $f:U\to ℂ$ uma função holomorfa definida no conjunto simplesmente conexo $U$ e um contorno simplesmente fechado C em $U$. Então, temos que para todo z₀ no interior de C

$f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\underset{C}{\oint }\frac{f(z)}{z-z_0}dz$

onde a integral de contorno é tomada em sentido anti-horário.

A prova dessa equação utiliza o teorema de integral de Cauchy e, assim como o teorema, necessita apenas que f seja analítica. Pode-se, a partir dessa fórmula e dessa exigência, deduzir que

${\frac{d^{n}f}{d{z}^n}|}_{z=z_0}=\frac{n!}{2\pi i}\underset{C}{\oint }\frac{f(z)}{(z-z_0{)}^{n+1}}dz.$

denominada integral de Cauchy generalizada. A integral de Cauchy em sua versão generalizada afirma que, se uma função é analítica em um ponto, então suas derivadas de todas as ordens existem nesse ponto e, além disso, são analíticas nesse ponto.

A ideia da prova

Para demonstrarmos a fórmula, começamos observando que a função holomorfa $F:U-\{a\}\to ℂ$ definida por $F(z)=\frac{f(z)-f(a)}{z-a}$ , por ter derivada nesse ponto, possui uma singularidade removível em $z=a$, e portanto vale o teorema integral de Cauchy: $0={\oint }_{C}F(z)dz={\oint }_C\frac{f(z)-f(a)}{z-a}dz$. Portanto, ${\oint }_C\frac{f(z)}{z-a}dz={\oint }_C\frac{f(a)}{z-a}dz=f(a)2\pi i$, o que implica o teorema.

Funções Não Holomorfas

Para uma função não holomorfa, as condições de Cauchy-Riemann não são satisfeitas, ou seja:

$\frac{\partial f}{\partial z^{*}}\ne 0$

e a fórmula de Cauchy torna-se

$f(z_0)=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\underset{\partial \mathrm{\Gamma }}{\oint }\frac{f(z)}{z-z_0}dz-\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\underset{\mathrm{\Gamma }}{\iint }\frac{\partial f}{\partial z^{*}}\frac{dz\wedge d{z}^{*}}{z-z_0}$

importante notar que a 2-forma ${\omega }^2=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\frac{\partial f}{\partial z^{*}}\frac{dz\wedge d{z}^{*}}{z-z_0}$ se anula sempre que f é analítica, e retornamos à Fórmula de Cauchy usual.

Bibliografia

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