Filtração (matemática)

Predefinição:Sem notas Na teoria dos sistemas dinâmicos sobre variedades, uma filtração é uma seqüência de subvariedades onde se pode decompor a dinâmica em pedaços menores.

Definição

Sejam M uma variedade suave e $f:M\to M$ um homeomorfismo. Além disto, sejam $k\in \mathbb{N}$ positivo, e $\mathrm{\varnothing }=M_0,...,M_k=M$ uma seqüência de subvariedades de M, possivelmente com fronteira, e com codimensão 0. Dizemos que M$=\{M_0,...,M_k\}$ é uma filtração adaptada a f caso $f(M_i)$ esteja contido no interior de $M_i$, para cada i entre 0 e k.

Se M$=\{M_0,...,M_k\}$ e N$=\{M_0,...,M_l\}$ são duas filtrações, dizemos que M refina N caso para cada $i\in \{1,..,l\}$, exista um $j\in \{1,..,k\}$ tal que $N_i\setminus N_{i-1}\subset M_j\setminus M_{j-1}$.

Dizemos $\{$M_i${\}}_{i\in \mathbb{N}}$ é uma seqüência de filtrações caso M_i+1 refine M_i, para todo $i\in \mathbb{N}$.

Aplicações

O conceito de filtração é utilizado para definir uma condição (a existência de uma sequência fina de filtrações), que garanta que o conjunto dos pontos não-errantes de um homeomorfismo é contínuo superiormente na topologia de Hausdorff. Na linguagem dos sistemas dinâmicos, temos o seguinte teorema: a existência de uma sequência fina de filtrações adaptadas a um homeomorfismo f implica que não existem ômega-explosões para um homeomorfismo f.

Referências

• Shub, M. (1996) Global stabiltity of dynamical systems, Springer Verlag.