Conjunto errante

Nos ramos da matemática e da teoria dos sistemas dinâmicos, o conceito de conjunto errante formaliza a ideia de movimento em tais sistemas. Quando um sistema dinâmico possui um conjunto errante de medida positiva, ele é dito dissipativo. Este comportamento é distinto do que ocorre num sistema conservativo, onde vale o teorema da recorrência de Poincaré. Intuitivamente, a conexão entre conjuntos errantes e dissipação é facilmente entendida: se uma porção do sistema "erra" de acordo com a evolução temporal do sistema, a partir de um determinado tempo ele nunca retorna à sua posição original.

Pontos errantes

A definição de ponto errante para sistemas dinâmicos discretos é a seguinte: Seja $f:X\to X$ uma aplicação contínua, onde $X$ é um espaço topológico. Um ponto $p\in X$ é dito errante com respeito a $f$, ou simplesmente errante, caso existam $U$ vizinhança de $p$ em $X$ e $N\in \mathbb{N}$ tais que $U\cap f^n(U)=\mathrm{\varnothing }$, para todo $n\ge N$. O conjunto de todos os pontos errantes de $X$ é chamado de conjunto errante de $f$.

De forma análoga, seja $\varphi :M\times ℝ\to ℝ$ um fluxo contínuo sobre uma variedade diferenciável $M$. Dizemos que um ponto $p\in M$ é errante caso existam $U$ vizinhança de $p$ em $M$ e $T\in ℝ$ tais que para todo $t\ge T$, $\varphi (U\times \{t\})\cap U=\mathrm{\varnothing }$.

Propriedades do conjunto errante

• O conjunto errante de $f$ é um subconjunto aberto de $f$.
• O complementar do conjunto errante de $f$ é chamado de conjunto não-errante de $f$, e é denotado por $\mathrm{\Omega }(f)$.
• Todo ponto recorrente é não-errante.
• É possível mostrar que o conjunto não-errante de um difeomorfismo ou um fluxo sobre uma variedade compacta $M$ é sempre não-vazio.
• Se $f:M\to M$ é um difeomorfismo de Anosov sobre uma variedade compacta, então os pontos periódicos de $f$ são densos em $\mathrm{\Omega }(f)$.